Phương Trình Vi Phân Tách Biến

     
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (Linear Algebra)Xác suất thống kêVideo bài giảngThảo luậnThảo luận về giải tíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

6. Phương trình đưa về phương trình đẳng cấp:

6.1 Dạng 1: Xét phương trình:

*
(6.1)

– Trường vừa lòng 1: ví như

*
thì cụ thể (6.1) là phương trình đẳng cấp.

Bạn đang xem: Phương trình vi phân tách biến

– Trường vừa lòng 2: ví như

*
ta đã tìm phương pháp đổi vươn lên là để khử c với c1. Ta đặt:

*
(*)

trong đó u, v là các biến số mới, h, k là nghiệm hệ phương trình:

*
(**)

Rõ ràng hệ phương trình (**) có duy độc nhất vô nhị nghiệm h, k nếu:

*

+ Trường thích hợp 2.1: ví như

*

Bằng phép thế (*) ta sẽ chuyển phương trình (6.1) về dạng:

*

+ Trường đúng theo 2.2: giả dụ

*

Khi đó: ta tất cả

*
vì chưng đó, phương trình (6.1) có dạng:

*

Đây là dạng phương trình ta đã xét sống mục 5.3

Vậy phương trình dạng 6.1 đều hoàn toàn có thể giải quyết bằng cách đưa về pt quý phái hoặc pt tách biến (tùy ngôi trường hơp)

6.2 những ví dụ:

1. Giải phương trình:

*
(1)

Ta viết lại phương trình (1) dưới dạng :

*

Vì:

*

Do đó, ta áp dụng phép thế:

*

trong đó: h, k là nghiệm hệ phương trình:

*

Giải hệ phương trình bên trên ta có: h = -1, k = 3

Vậy ta đặt: x = u -1 , y = v + 3. Khi đó, chũm vào pt (1) ta có:

*
(phương trình đẳng cấp)

Ta đặt:

*

Thế vào phương trình ta có:

*

Hay:

*

Giải phương trình bên trên ta có:

*

Hay

*

Vậy nghiệm phương trình (1) là:

*

Hay:

*

2. Giải phương trình:

*

Phương trình này lâm vào hoàn cảnh trường hòa hợp 2.2. Bởi vì đó, đặt: z = x – y ta đã có:

*

Vậy nghiệm phương trình (2) là:

*

6.3: Phương trình sang trọng mở rộng:

(phần này M4Ps trích trường đoản cú giáo trình Phương trình vi phân của người sáng tác Nguyễn cố gắng Hoàn – è cổ Văn Nhung)

Xét phương trình:

*
(6.3)

Phương trình (6.3) được gọi là phương trình đẳng cấp mở rộng ví như ta rất có thể chọn được số k làm thế nào để cho vế trái của biến đổi hàm đẳng cấp bậc k đối với x, y, dx, dy.

Nghĩa là: ta tìm kiếm được k sao để cho tất cả những số hạng sinh sống vế trái phần đa cùng bậc.

Trong đó: ta coi x là đại lượng bậc 1, y là đại lượng bậc k, dx là bậc 0 và dy là bậc k – 1.

Ví dụ: xét phương trình:

*

Ta có:

*

Trong đó số hạng

*
có bậc là -2, số hạng
*
tất cả bậc là 2k với số hạng
*
bao gồm bậc là k-1.

Vậy nhằm phương trình (*) là pt đẳng cấp suy rộng thì cần tồn tại số k thế nào cho các số hạng thuộc bậc. Nghĩa là:

*

Vậy (*) là pt đẳng cấp và sang trọng suy rộng.

Xem thêm: Trễ Kinh 1 Tuần Thử Que 2 Vạch Mà Siêu Âm Chưa Thấy Thai? Chậm Kinh Bao Lâu Thì Nên Thử Que Và Đi Khám Thai

Cách giải:

Sử dụng phép rứa vạn năng:

*
(với k là giá chỉ trị tìm kiếm được để pt là pt quý phái suy rộng)

ta sẽ chuyển phương trình về dạng pt bóc biến.

Ví dụ: 1. Ta giải phương trình (*) bằng phương pháp đặt

*

Thế vào pt (*) ta có:

*

Hay:

*

2. Giải phương trình:

*

Ở đây, phương trình này sẽ không thể mang về phương trình phân ly trở nên số, phong cách nên ta thử tra cứu hằng số k để đưa về pt quý phái suy rộng.

Ta có:

*
gồm bậc 3k,
*
bao gồm bậc k+1 với
*
gồm bậc 3k. Vì vậy, để là pt đẳng cấp suy rộng lớn thì đề xuất tồn tại k sao cho:

*

Vậy đặt

*
(*)

Từ pt (2) ta có:

*
(**)

Vậy trường đoản cú (*), (**) ta có:

*

Từ đó:

*
(phương trình phân ly biến chuyển số)

Vậy nghiệm pt là:

*

Vậy nghiệm pt (2) là:

*

6.4 nhấn xét:

– ngoài pt đẳng cấp và sang trọng mở rộng lớn như trên, nhiều lúc ta gặp gỡ những phương trình rất có thể đưa được về dạng pt đẳng cấp bằng phép nỗ lực

*
, trong các số ấy m là số ta yêu cầu chọn.

Xem thêm: Ký Sinh Trùng Trong Bọ Ngựa

Muốn kiếm tìm m ta nuốm

*
vào phương trình rồi lựa chọn m làm sao để cho pt nhận ra là pt đẳng cấp. Mặc dù nhiên, đề nghị kiểm tra 6 dạng cơ bản trước, nếu không đưa pt về một trong các 6 dạng cơ bạn dạng được thì mới nghĩ đến pt quý phái mở rộng.