Giới Hạn Lim Lớp 11

  -  

Với bí quyết giải các dạng toán về giới hạn của hàm số môn Toán lớp 11 Đại số cùng Giải tích gồm phương thức giải chi tiết, bài bác tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện để giúp học sinh biết phương pháp làm bài bác tập các dạng toán về giới hạn của hàm số lớp 11. Mời các bạn đón xem:


Giới hạn của hàm số và phương pháp giải bài xích tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) số lượng giới hạn của hàm số tại một điểm:

* giới hạn hữu hạn: Cho khoảng tầm K đựng điểm x0 . Ta nói rằng hàm số f(x) xác minh trên K (có thể trừ điểm x0) có số lượng giới hạn là L lúc x dần dần tới x0 nếu như với hàng số (xn) bất kì, xn∈Kx0và xn→x0, ta có: f(xn)→L

Kí hiệu:limx→x0f(x)=L hay f(x)→Lkhi x→x0.

Bạn đang xem: Giới hạn lim lớp 11

Nhận xét: nếu f(x) là hàm số sơ cấp khẳng định tại x0 thì limx→x0fx=fx0.

* số lượng giới hạn ra vô cực:

Hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới dương vô rất khi x dần tới x0 nếu với tất cả dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→+∞.

Kí hiệu: .

Hàm số y = f(x) có số lượng giới hạn dần cho tới âm vô cực khi x dần dần tới x0 nếu với tất cả dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→−∞.

Kí hiệu: limx→x0f(x)=−∞.

b) số lượng giới hạn của hàm số tại vô cực:

* giới hạn ra hữu hạn:

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (a;+∞)có số lượng giới hạn là L lúc x→+∞nếu với đa số dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=L.

- Ta nói hàm số y = f(x) khẳng định trên (−∞;b)có số lượng giới hạn là L lúc x→−∞nếu với đa số dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→−∞f(x)=L.

* giới hạn ra vô cực:

- Ta nói hàm số y = f(x) xác minh trên (a;+∞)có giới hạn dần tới dương cực kỳ (hoặc âm vô cùng) khi x→+∞nếu với tất cả dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→+∞(hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=+∞(hoặc limx→+∞f(x)=-∞).

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞;b)có số lượng giới hạn là dần dần tới dương vô cùng (hoặc âm vô cùng) lúc x→−∞nếu với đa số dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→+∞. (hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→-∞f(x)=+∞(hoặc limx→-∞f(x)=−∞).

c) Các số lượng giới hạn đặc biệt:

*

d) Một vài định lý về số lượng giới hạn hữu hạn:

*

Chú ý:

- các định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng vào lúc thay x→x0bởi x→+∞ hoặc x→-∞.

- Định lí bên trên ta chỉ vận dụng cho rất nhiều hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực.

* Nguyên lí kẹp:

Cho bố hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K đựng điểm x0 (có thể các hàm kia không xác minh tại x0). Ví như g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì .

e) quy tắc về số lượng giới hạn vô cực

Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x)g(x)

*

Quy tắc tìm số lượng giới hạn của thươngf(x)g(x)

f) số lượng giới hạn một bên:

* giới hạn hữu hạn:

- Định nghĩa 1: giả sử hàm số f khẳng định trên khoảng x0;b,x0∈ℝ. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên đề xuất là số thực L lúc dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với đa số dãy số bất kì (xn) hầu hết số thuộc khoảng (x0; b) nhưng mà lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L.

Khi đó ta viết: limx→x0+fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0+.

- Định nghĩa 2: mang sử hàm số f khẳng định trên khoảng tầm a;x0,x0∈ℝ. Ta bảo rằng hàm số có số lượng giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với đa số dãy bất cứ (xn) đầy đủ số thuộc khoảng (a; x0) cơ mà lim xn = x0 ta đều phải có lim f(xn) = L.

Khi đó ta viết: limx→x0−fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0−.

- nhấn xét:

limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng lúc thay x→x0bởi x→x0− hoặc x→x0+.

* giới hạn vô cực:

- các định nghĩa limx→x0−fx=+∞, limx→x0−fx=−∞, limx→x0+fx=+∞và limx→x0+fx=−∞được phạt biểu giống như như có mang 1 và tư tưởng 2.

- thừa nhận xét: các định lí về số lượng giới hạn của hàm số vẫn đúng nếu gắng L do +∞ hoặc-∞

2. Các dạng bài bác tập

Dạng 1: giới hạn tại một điểm

Phương pháp giải:

- trường hợp f(x) là hàm số sơ cấp khẳng định tại x0 thìlimx→x0fx=fx0

- Áp dụng quy tắc về giới hạn tới vô cực:

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

Dạng 2: số lượng giới hạn tại vô cực

Phương pháp giải:

- Rút lũy thừa bao gồm số mũ bự nhất

- Áp dụng quy tắc số lượng giới hạn tới vô cực

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

a)limx→+∞(7x5+5x2−x+7)

b)limx→−∞4x5−3x3+x+1

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)limx→+∞x6+5x−1

b)limx→−∞2x2+1+x

Lời giải

*

Dạng 3: Sử dụng nguyên tắc kẹp

Nguyên lí kẹp:

Cho bố hàm số f(x), g(x), h(x) xác minh trên K đựng điểm x0 (có thể các hàm kia không khẳng định tại x0). Nếu g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì limx→x0f(x)=L.

Phương pháp giải:

Xét tính bị chặn của hàm số f(x) bởi hai hàm số g(x) và h(x) sao cholimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=L

Chú ý tính bị chặn của hàm con số giác:

−1≤sinx≤1−1≤cosx≤1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính giới hạn của hàm số:

a)limx→0x2cos2nx

b)limx→−∞cos5x2x

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính số lượng giới hạn của hàm số:limx→+∞2sinx+cos3xx+1−x

Lời giải

*

Dạng 4: số lượng giới hạn dạng vô định00

Nhận biết dạng vô định 00: Tính limx→x0f(x)g(x)trong đó f(x0) = g(x0) = 0.

Phương pháp giải:

Để khử dạng vô định này ta so sánh f(x) với g(x) sao cho xuất hiện nhân tử phổ biến là (x – x0)

Định lí: Nếu đa thức f(x) bao gồm nghiệm x = x0 thì ta có: f(x) = (x – x0)f1(x).

* ví như f(x) với g(x) là các đa thức thì ta so sánh f(x) = (x – x0)f1(x) và g(x) = (x – x0)g1(x).

Khi kia limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f1(x)g1(x), giả dụ giới hạn này có dạng 00thì ta liên tục quá trình như trên.

Chú ý: nếu như tam thức bậc nhị ax2 + bx + c gồm hai nghiệm x1; x2 thì ta luôn có sự phân tích: ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2)

* trường hợp f(x) với g(x) là những hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để đưa về các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên.

Các lượng liên hợp:

*

* nếu như f(x) cùng g(x) là các hàm cất căn thức không ngang hàng ta sử dụng cách thức tách, chẳng hạn:

Nếu u(x)n,v(x)m→c thì ta phân tích:

u(x)n−v(x)m=(u(x)n−c)−(v(x)m−c)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

b)limx→22x2−5x+2x3−8

Lời giải

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

=limx→1(x−1)(x2−2x−2)(x−1)(x−3)=limx→1x2−2x−2x−3=32

b)limx→22x2−5x+2x3−8

=limx→2(2x−1)(x−2)(x−2)(x2+2x+4)=limx→22x−1x2+2x+4=14

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

Dạng 5: số lượng giới hạn dạng vô định∞∞

Nhận biết dạng vô định∞∞

limx→x0uxvxkhi limx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

limx→±∞uxvx khilimx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

Phương pháp giải:

- phân chia tử và mẫu mang lại xn cùng với n là số mũ tối đa của biến hóa ở mẫu (Hoặc phân tích thành tựu chứa nhân tử xn rồi giản ước).

- Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa trở nên x trong vết căn thì chuyển xk ra ngoài dấu căn (Với k là mũ tối đa của đổi mới x trong vết căn), sau đó chia tử cùng mẫu mang đến lũy thừa cao nhất của x.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

*

Dạng 6: số lượng giới hạn dạng vô định ∞−∞ và0.∞

Phương pháp giải:

- nếu như biểu thức chứa trở nên số dưới vệt căn thì nhân và phân chia với biểu thức liên hợp

- ví như biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu mã và đem đến cùng một biểu thức

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

a)limx→01x−1x2

b)limx→01x1x+1−1

Lời giải

*

Dạng 7: Tính số lượng giới hạn một bên

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính số lượng giới hạn tới vô cực

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

Ví dụ 2: cho hàm số fx=x2+11−x khi x12x−2 khi x≥1. Tính:

a)limx→1+fx

b) limx→1−fx

Lời giải

a)limx→1+fx=limx→1+2x−2=2.1−2=0

b) limx→1−fx=limx→1−x2+11−x=+∞ vìlimx→1−x2+1=2>0limx→1−1−x=0x→1−⇒x1⇒1−x>0

Dạng 8: tra cứu tham số m để hàm số tất cả giới hạn tại một điểm mang đến trước

Phương pháp giải:

Sử dụng thừa nhận xét:limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

- Tính giới hạnlimx→x0−fx;  limx→x0+fx

- Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = x0 cho trước thì limx→x0−fx= limx→x0+fx. Tra cứu m.

Khi kia với m vừa tìm kiếm được, hàm số có số lượng giới hạn tại x = x0 cho trước và số lượng giới hạn đó bằngL=limx→x0−fx= limx→x0+fx

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: cho hàm số fx=x2−3x+2x−2      x>2a                       x≤2. Với giá trị như thế nào của a thì hàm số đã cho có số lượng giới hạn tại điểm x = 2?

Lời giải

Ta có

limx→2+fx=limx→2+x2−3x+2x−2=limx→2+x−1x−2x−2=limx→2+x−1=1

limx→2−fx=a.

Để hàm số có giới hạn tại x = 2 thì limx→2+fx= limx→2−fx.

⇒a=1

Vậy a = 1.

Ví dụ 2: Tìm những giá trị thực của tham số fx=m−3khi x12m−13khi x=11−7x2+2khi x>1để hàm số để tồn tại limx→1fx.

Lời giải

Ta cólimx→1−fx=limx→1−m−3=m−3limx→1+fx=limx→1+1−7x2+2=−2

Để hàm số có giới hạn tại x = 1 thì limx→1−fx=limx→1+fx.

⇒m−3=−2⇔m=1

Vậy m = 1.

3. Bài xích tập tự luyện

Câu 1. Tính limx→1−−3x−1x−1bằng:

A. -1

B. -∞

C.+∞

D. -3

Câu 2. Tính limx→+∞2x2−13−x2bằng:

A.

Xem thêm: Cách Nhập Dữ Liệu Vào Excel Nhanh Trong Excel Không Phải Ai Cũng Biết

-2

B.13

C.23

D. 2

Câu 3. Tính limx→2x3−8x2−4bằng:

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Câu 4. Tính limx→−4x2+3x−4x2+4xbằng:

A. -1

B. 54

C. 1

D.-54

Câu 5. Tính limx→1x3−1x−1bằng:

A. 13

B. 1

C. 12

D. 2

Câu 6. Tính limx→0x3+1−1x2+xbằng:

A. 4

B. 3

C. 0

D. 1

Câu 7. Tính limx→−∞4x2−x+1x+1 bằng:

A. -2

B. 1

C. 2

D. -1

Câu 8. Tính limx→+∞x+5−x−7 bằng:

A.-∞

B.+∞

C. 0

D. 4

Câu 9. Tính limx→−∞−2x5+x4−33x2−7là:

A. 0

B. +∞

C. -2

D.-∞

Câu 10. Tínhlimx→+∞x2−4x−x

A. -2

B. -∞

C. 0

D.+∞

Câu 11. Cho limx→−∞x2+ax+5+x=5. Quý giá của a là:

A. 6

B. 10

C. -10

D. -6

Câu 12. Kết trái đúng của limx→1x3−1x4−1bằng:

A. 34

B. 4

C. 43

D. 3

Câu 13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. limx→−∞x4−x1−2x=0

B. limx→−∞x4−x1−2x=+∞

C. limx→−∞x4−x1−2x=1

D. limx→−∞x4−x1−2x=−∞

Câu 14. Cho fx=4−x2      −2≤x≤2x2−4x−2                         x>2. Tính limx→−2+fx.

A. 0

B. 4

C.+∞

D.

Xem thêm: Cách Tìm Số Tự Nhiên Nhỏ Nhất Có 15 Ước Nguyên Dương Của Một Số Tự Nhiên

không tồn tại

Câu 15. Tìm các giá trị thực của tham số m nhằm hàm số fx=x+m khi  x0x2+1khi  x≥0 có số lượng giới hạn tại x = 0.