Định Lý Menelaus Và Ceva

     

Định lý Ceva là trong số những định lý đặc trưng và rất hay sử dụng trong những bài toán hình học phẳng. Vậy định lý Ceva là gì? Cách minh chứng định lý Ceva lớp 8? bài tập định lý Ceva Menelaus?… trong nội dung nội dung bài viết dưới đây, theshineshop.vn sẽ giúp đỡ bạn tổng hợp kỹ năng về chủ đề này nhé!


Định lý Ceva là gì?

Định nghĩa về Ceva

Định lý Ceva là một trong định lý phổ biến trong hình học tập cơ bản, được tuyên bố như sau:


Khi ta mang đến tam giác ( ABC ) và các điểm ( D,E,F ) theo lần lượt nằm trên các cạnh ( BC,CA,AB ). Khi ấy thì những đường thẳng ( AD,BE,CF ) đồng quy khi còn chỉ khi: (fracDBDC.fracECEA.fracFAFB=1)

*

Chứng minh định lý Ceva

Giả sử ta đã có ( AD,BE,CF ) đồng quy tại điểm ( O )

Khi kia ta tất cả :

(fracS_Delta AOFS_Delta BOF = fracFAFB) vị cùng chung đường cao hạ từ ( O ) xuống ( AB )

Tương từ bỏ : (fracS_Delta ACFS_Delta BCF = fracFAFB) bởi cùng tầm thường đường cao hạ tự ( C ) xuống ( AB )

Từ kia (Rightarrow fracFAFB = fracS_Delta ACFS_Delta BCF = fracS_Delta AOFS_Delta BOF = fracS_Delta ACF -S_Delta AOF S_Delta BCF-S_Delta BOF=fracS_Delta AOCS_Delta BOC)

Tương trường đoản cú thì ta có:

(fracDBDC =fracS_Delta ABOS_Delta ACO)

(fracECEA =fracS_Delta BOCS_Delta AOB)

Vậy (Rightarrow fracDBDC.fracECEA.fracFAFB= fracS_Delta AOCS_Delta BOC. fracS_Delta ABOS_Delta ACO. fracS_Delta BOCS_Delta AOB=1)

Vậy ta gồm điều cần chứng minh.

Bạn đang xem: định lý menelaus và ceva

Chứng minh định lý Ceva đảo

Giả sử ta đang có những điểm ( D,E,F ) thỏa mãn nhu cầu (fracDBDC.fracECEA.fracFAFB=1)

Gọi ( O ) là giao điểm của ( AD,BE ) với ( F’ ) là giao điểm của ( AB,CO )

Theo phần thuận chứng minh ở bên trên thì ta có :

(fracDBDC.fracECEA.fracF’AF’B=1)

Kết hợp với giả thiết (Rightarrow fracFAFB=fracF’AF’B)

(Leftrightarrow fracFAFB+1=fracF’AF’B+1)

(Leftrightarrow fracABFB=fracABF’B Leftrightarrow F’B=FB)

Vậy (Fequiv F’) hay nói theo cách khác thì ( AD,BE,CF ) đồng quy

Như vậy ta đã chứng minh được cả hai phía của Đ/L Ceva. Trong một số trong những bài toán, chúng ta cần áp dụng linh hoạt cả chiều thuận tương tự như chiều đảo của định lý để giải quyết và xử lý bài toán cấp tốc gọn.

Ví dụ về định lý Ceva

Cho tam giác ( ABC ) và điểm ( O ) phía trong tam giác. Các đường thẳng ( AO, BO, co ) theo lần lượt cắt các cạnh ( BC, CA, AB) trên ( A_1, B_1, C_1 ). Điểm ( O_1 ) phía bên trong tam giác ( A_1B_1C_1 ). Những đường trực tiếp ( AO_1, BO_1, CO_1 ) theo lần lượt cắt những cạnh ( B_1C_1, C_1A_1, A_1B_1 ) trên ( A_2, B_2, C_2 ). Chứng minh các mặt đường thẳng ( A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2 ) đồng quy.

Cách giải:

*

Ta có:

(fracA_2B_1A_2C_1=fracS_Delta A_2AB_1S_Delta A_2AC_1) do cùng mặt đường cao hạ tự ( A ) xuống ( B_1C_1 )

(fracA_2B_1A_2C_1=fracS_Delta A_2O_1B_1S_Delta A_2O_1C_1) bởi cùng mặt đường cao hạ trường đoản cú ( O_1 ) xuống ( B_1C_1 )

Vậy (Rightarrow fracA_2B_1A_2C_1=fracS_Delta A_2AB_1S_Delta A_2AC_1 = fracS_Delta A_2O_1B_1S_Delta A_2O_1C_1 = fracS_Delta A_2AB_1+S_Delta A_2O_1B_1S_Delta A_2AC_1+S_Delta A_2O_1C_1=fracS_Delta O_1AB_1S_Delta O_1AC_1)

Tương từ bỏ ta cũng có:

(fracB_2C_1B_2A_1=fracS_Delta O_1BC_1S_Delta O_1BA_1)

(fracC_2A_1C_2A_1=fracS_Delta O_1CA_1S_Delta O_1CB_1)

Như vậy ta được:

(fracA_2B_1A_2C_1 . fracB_2C_1B_2A_1 . fracC_2A_1C_2B_1 =fracS_Delta O_1AB_1S_Delta O_1AC_1. fracS_Delta O_1BC_1S_Delta O_1BA_1. fracS_Delta O_1CA_1S_Delta O_1CB_1 )

( =fracS_Delta O_1CA_1S_Delta O_1BA_1. fracS_Delta O_1AB_1S_Delta O_1CB_1. fracS_Delta O_1BC_1S_Delta O_1AC_1=fracA_1CA_1B. fracB_1AB_1C. fracC_1BC_1A)

Mặt không giống xét tam giác ( ABC ) bao gồm ( AA_1,BB_1,CC_1 ) đồng quy tại ( O ) nên theo định lý Ceva ta tất cả :

(fracA_1BA_1C. fracB_1CB_1A. fracC_1AC_1B=1)

Như vậy ta gồm :

(fracA_2B_1A_2C_1 . fracB_2C_1B_2A_1 . fracC_2A_1C_2B_1 =fracA_1BA_1C. fracB_1CB_1A. fracC_1AC_1B=1)

Theo Đ/L Ceva đảo với tam giác ( A_1B_1C_1 ) và các điểm ( A_2,B_2,C_2 ) thì suy ra các đường thẳng ( A_1A_2,B_1B-2,C_1,C_2 ) đồng quy

Vậy ta bao gồm điều yêu cầu chứng minh.

Định lý Ceva dạng lượng giác

Một dạng không giống của ĐL Ceva chính là định lý Ceva dạng lượng giác hay định lý Ceva dạng sin. Ceva dạng lượng giác hay được áp dụng cho tía đường trực tiếp mà các điểm khác đỉnh của tam giác không nằm trên những cạnh của tam giác đó. Định lý được phát biểu như sau:

Cho tam giác ( ABC ). Hotline ( M, N, p ) là ba điểm khớp ứng nằm trên cha cạnh ( BC, CA, AB ) của tam giác. Lúc đó, bố đường thẳng ( AM, BN, CP ) đồng quy khi và chỉ khi ( fracsin widehatMABsin widehatMAC.fracsin widehatNBCsin widehatNBA.fracsin widehatPCAsin widehatPCB=1 )

*

Chứng minh:

Áp dụng định lý ( sin ) cho các tam giác ( ABM ) cùng ( ACM ) ta bao gồm :

( BM=fracABsin widehatMABsin widehatAMB )

( MC=fracACsin widehatMACsin widehatAMC )

Vì ( sin widehatAMB=sin widehatAMC ) nên suy ra ( fracBMMC=fracABAC.fracsin widehatMABsin widehatMAC ;;;; (1) )

Tương từ bỏ ( fracCNNA=fracBCAB.fracsin widehatNBCsin widehatNBA; fracAPPB=fracACBC.fracsin widehatPCAsin widehatPCB ;;;; (2) )

Ba đường thẳng ( AM , BN, CP ) đồng quy đề nghị theo định lý Ceva có ( fracBMMC.fracCNNA.fracAPPB=1 ;;;; (3) )

Từ ( (1), (2) ) và ( (3) ) ta có

( fracsin widehatMABsin widehatMAC.fracsin widehatNBCsin widehatNBA.fracsin widehatPCAsin widehatPCB=1)

Ví dụ 1:

Cho tam giác (ABC) và bố đường thẳng (AD, BE,CF) đồng quy tại ( O ) cùng với ( D,E,F ) thứu tự nằm trên ( BC,CA,AB ). Gọi (X,Y,Z) thứu tự là hình chiếu của (D,E,F) lên (EF,FD,ED). Minh chứng rằng (AX,BY,CZ) đồng quy.

Cách giải:

*

Ta đang kí hiệu (D=widehatFDE, E=widehatFED, F=widehatDFE)

Ta có: (fracFXEX = fracS_AFXS_AEX=fracAF.AX.sin widehatFAXAE.AX.sin widehatEAX=fracAFAE.fracsin widehatFAXsin widehatEAX)

Mặt khác ta cũng có: (fracFXEX=frac an F.DX an E.DX=frac an F an E)

Từ đó suy ra:

(fracAFAE.fracsin widehatFAXsin widehatEAX=frac an F an E Leftrightarrow fracsin widehatFAXsin widehatEAX=frac an F an E.fracAEAF)

Làm giống như như vậy cùng nhân lại, ta được:

(fracsin widehatFAXsin widehatEAX.fracsin widehatECZsin widehatDCZ.fracsin widehatDBYsin widehatFCY=1.fracAFBF.fracBDCD.fracCEAE)

Theo định lý Ceva mang đến tam giác ( ABC ), vị ( AD,BE,CF ) đồng quy yêu cầu ta có

(fracAFBF.fracBDCD.fracCEAE=1)

Như vậy ta được:

(fracsin widehatFAXsin widehatEAX.fracsin widehatECZsin widehatDCZ.fracsin widehatDBYsin widehatFCY=1)

Theo định lý Ceva dạng ( sin ) ta gồm ( AX,BY,CZ ) đồng quy.

Ứng dụng đôi khi định lý Ceva với Menelaus

Trong hình học phẳng thì nhị định lý này thường xuyên đi tuy vậy hành. Một bài bác toán hoàn toàn có thể áp dụng mặt khác cả nhị định lý này để giải

Định lý Menelaus phát biểu như sau:

Cho tam giác ( ABC ) và các điểm ( D,E,F ) theo thứ tự nằm trên những đường thẳng ( BC,CA,AB ). Lúc đó những điểm ( D,E,F ) thẳng mặt hàng khi và chỉ khi

(fracDBDC.fracECEA.fracFAFB=1)

*

Ở phía trên ta nhận ra rằng : Nếu đưa sử (fracDBDC.fracECEA.fracFAFB=1) thì tùy thuộc vào số điểm nằm ở cạnh , mặt đường thẳng cất cạnh của tam giác màât bao gồm định lý Ceva giỏi Menelaus.

Nếu cả ( 3 ) điểm ( D,E,F ) nằm trên cha cạnh của tam giác ( ABC ) thì ta tất cả định lý Ceva.Nếu gồm ( 2 ) điểm vị trí cạnh cùng ( 1 ) điểm nằm trên đường thẳng chứa cạnh dẫu vậy nằm ngoại trừ tam giác ( ABC ) thì ta bao gồm định lý Menelaus.Nếu gồm ( 1 ) điểm nằm trên cạnh và ( 2 ) điểm nằm trên đường thẳng đựng cạnh nhưng lại nằm ko kể tam giác ( ABC ) thì ta gồm định lý Ceva.Nếu cả ( 3 ) điểm ( D,E,F ) nằm trên bố đường thẳng đựng cạnh cùng nằm không tính tam giác ( ABC ) thì ta bao gồm định lý Menelaus.

Chúng ta thường áp dụng định lý Ceva nhằm suy ra tỉ số, sau đó biến đổi tỉ số đó rồi vận dụng định lý Menelaus để minh chứng yêu cầu việc hoặc ngược lại. Bởi đó họ cần linh hoạt thực hiện cả chiều thuận tương tự như chiều đảo của hai định lý này.

Xem thêm: Hàm Dò Tìm Chuỗi Trong Excel, Hàm Dò Tìm Chuỗi Ký Tự Trong Excel

Ví dụ 2:

Cho tam giác ( ABC ) và tía điểm ( D,E,F ) nằm trong ( BC,CA,AB ) sao để cho ( AD,BE,CF ) đồng quy. Đường thẳng ( EF ) cắt đường thẳng ( BC ) trên ( Q ) làm sao cho ( Q ) nằm trong nửa mặt phẳng bờ ( AD ) đựng ( B ) . Chứng tỏ rằng (fracQBQC=fracDBDC)

Cách giải:

*

Áp dụng định lý Ceva cho tam giác ( ABC ) với ( AD,BE,CF ) đồng quy ta có:

(fracDBDC.fracECEA.fracFAFB=1)

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ( ABC ) cùng với ( E,F,Q ) thẳng mặt hàng ta có:

(fracQBQC.fracECEA.fracFAFB=1)

Từ đó (Rightarrow fracDBDC=fracQBQC)

Các dạng định lý Ceva mở rộng

Ngoài định lý Ceva vào tam giác mà chúng ta thường áp dụng thì có một số trong những dạng không ngừng mở rộng của định lý Ceva mà họ cũng nên tìm hiểu để có thể áp dụng vào một số bài toán.

Định lý ceva trong không gian

Trong không gian cho tứ diện ( ABCD ). Gọi ( X,Y,Z,W ) theo thứ tự là tư điểm nằm trong ( AB,BC,CD,DA ). Lúc ấy ( 4 ) phương diện phẳng ( (AZB), (BWC), (CXD), (DYA) ) giảm nhau tại một điểm khi còn chỉ khi

(fracXAXB.fracYBYC.fracZCZD.fracWDWA=1)

*

Chứng minh:

Giả sử ( 4 ) mặt phẳng trên giảm nhau tại điểm ( phường )

Gọi (A’=BZcap DY) cùng (C’=DXcap BW)

Khi đó thì ta có:

((AZB)cap (AYD)=AA’) cùng ( (CXD)cap (BWC)=CC’)

Như vậy ( P= AA’ cap CC’ ) cùng ( A,C,A,’C’ ) đồng phẳng

Gọi ( T= AC’ cap A’C ). Do

(left{eginmatrix AC’ in (ABD)\ A’C in (CBD)\ (ABD)cap (CBD)=BD endmatrix ight. Rightarrow T in BD)

Áp dụng định lý Ceva trong khía cạnh phẳng cho các tam giác ( ABD, CBD ) ta được :

(fracWAWD.fracTDTB.fracXBXA=1)

(fracTBTD.fracZDZC.fracYCYB=1)

Nhân nhị vế nhì đẳng thức trên ta được :

(fracXAXB.fracYBYC.fracZCZD.fracWDWA=1)

Định lý Ceva mang đến đa giác

Cho đa giác ( n ) cạnh ( A_1A_2…A_n ). Mang ( n ) điểm ( B_1;B_2;…B_n ) sao để cho điểm ( B_i ) vị trí đường chéo cánh (A_i-1A_i+1). Khi đó những đường trực tiếp ( A_1B_1; A_2B_2; …; A_nB_n ) đồng quy khi còn chỉ khi

(fracB_1A_nB_1A_2.fracB_2A_1B_2A_3….fracB_nA_n-1B_nA_1=1)

Chứng minh nhờ vào tỉ lệ diện tích y như cách chứng minh định lý Ceva trong tam giác.

Bài tập định lý Ceva Menelaus

Sau đây là một số bài xích tập áp dụng định lý Ceva để độc giả tự luyện tập.

Bài 1: Cho tam giác ( ABC ) và cha điểm (E,F,M ) thứ tự trên các cạnh (AC,BC,AB ) làm sao để cho (EF || BC ) cùng ( MB=MC ). Chứng tỏ rằng ( CF,BE,AM ) đồng quy.

Bài 2: Cho tam giác ( ABC ) vuông tại ( A ), con đường cao ( AK ). Dựng bên ngoài tam giác hai hình vuông ( ABEF ) và ( ACGH ). Minh chứng rằng ( AK,BG,CE ) đồng quy.

Bài 3: đến tam giác ( ABC ). điện thoại tư vấn ( M,N,P ) theo thứ tự là trung điểm ( BC,CA,AB ). điện thoại tư vấn ( X,Y,Z ) là cha điểm bất kể nằm bên trên ( BC,CA,AB ) thế nào cho ( AX,BY,CZ ) đồng quy.Gọi ( D,E,F ) theo thứ tự là trung điểm ( AX,BY,CZ ). Chứng minh rằng ( MD,NE,PF ) đồng quy.

Bài 4: cho tam giác ( ABC ) và mặt đường tròn chổ chính giữa ( I ) nội tiếp tam giác xúc tiếp với những cạnh ( BC,CA,AB ) theo lần lượt tại ( D,E,F ). Call ( D’,E’,F’) lần lượt là điểm đối xứng của ( D,E,F ) qua ( I ). Minh chứng ( AD’,BE’,CF’ ) đồng quy.

Xem thêm: Cách Cho Trẻ Ăn Váng Sữa Đúng Cách, Cho Trẻ Ăn Nhiều Váng Sữa Có Tốt Không

Bài 5: đến tam giác ( ABC ). Đường tròn ( (O) ) cắt cạnh ( BC) tại ( X,Y); giảm cạnh ( CA) tại ( Z,T); cắt cạnh ( AB) trên (U,V) làm sao cho ( XYZTUV ) là các đỉnh của một lục giác lồi. Lấy những giao điểm ( XT cap YU=A’;ZVcap TX=B’;UYcap VZ=C’ ). Chứng tỏ rằng ( AA’,BB’ và CC’ ) đồng quy.

Bài viết trên phía trên của theshineshop.vn đã giúp đỡ bạn tổng hợp triết lý và vận dụng của định lý Ceva trong các bài toán. Hi vọng những kỹ năng và kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chủ đề định lý Ceva. Chúc bạn luôn học tốt!