ĐỊNH LÍ TALET TRONG TAM GIÁC

     

Với bài học kinh nghiệm này bọn họ sẽ tìm hiểu về Định lí Ta-lét (Thalès) trong tam giác. Đây là 1 trong những định lí cực kì quan trọng trong chương trình toán phổ thông.

Bạn đang xem: định lí talet trong tam giác


1. Bắt tắt lý thuyết

1.1. Định lí Talet vào tam giác

1.2. Định lí Talet tổng quát

2. Bài tập minh hoạ

3. Rèn luyện Bài 1 Chương 3 Hình học tập 8

3.1 Trắc nghiệm vềĐịnh lí Ta-lét vào tam giác

3.2. Bài tập SGK vềĐịnh lí Ta-lét vào tam giác

4. Hỏi đáp bài bác 1 Chương 3 Hình học 8


a. Định lí thuận

Nếu một con đường thẳng giảm hai của một tam giác và song song cùng với cạnh sót lại thì nó định ra trên nhị cạnh đó hầu hết đoạn thẳng tương xứng tỉ lệ.

(Delta ABC;,,B"C",//BC, Rightarrow fracAB"AB = fracAC"AC.)

b. Định lí đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên nhì cạnh này hầu như đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì mặt đường thẳng đó tuy nhiên song cùng với cạnh còn sót lại của tam giác.

(Delta ABC;,fracAB"AB = fracAC"AC Rightarrow B"C"https://BC)

Tóm tắt: (Delta ABC;,,B"C"https://BC Leftrightarrow fracAB"AB = fracAC"AC.)

Chú ý: Định lí Talet thuận và hòn đảo đúng đối với tất cả ba trường hòa hợp hình vẽ sau:

c. Hệ quả

Một đường thẳng giảm hai cạnh của tam giác và tuy nhiên song cùng với cạnh còn lại thì nó chế tác thành một tam giác bắt đầu có cha cạnh tương xứng tỉ lệ với tía cạnh của tam giác vẫn cho.

(Delta ABC;,,B"C"https://BC Rightarrow fracAB"AB = fracB"C"BC = fracC"ACA.)


1.2. Định lí Talet tổng quát


a. Định lí thuận

Nhiều đường thẳng tuy nhiên song định ra trên hai mèo tuyến bất kể những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

(a//,,b,,//,,c Rightarrow fracABBC = fracA"B"B"C")

Chú ý: Ta minh chứng dễ dàng định lí này bằng phương pháp kẻ qua A’ một con đường thẳng tuy nhiên song với (Delta ), đường này cắt b, c theo trang bị tự tại các điểm B’’ cùng C’’. Thường thấy A’B’’ = AB, B’’C’’ = BC. Sau đó, áp dụng định lí Talet trong tam giác vào tam giác A’C’’C’ nhằm có:

(fracA"B"B"C" = fracA"B""B""C"".)

Từ đây suy ra kết luận.

*

b. Định lí đảo

Cho cha đường thẳng a, b, c giảm hai cát tuyến (Delta ,,,Delta ") tại những điểm theo sản phẩm tự A, B, C với A’, B’, C’ thoả mãn đẳng thức tỉ lệ:

(fracABBC = fracA"B"B"C")

Và nhì trong tía đường thẳng a, b, c là tuy vậy song cùng nhau thì đường thẳng còn sót lại cũng song song với hai tuyến đường kia.

(fracABBC = fracA"B"B"C") cùng (a//b Rightarrow a//b//c)

c. Hệ quả (Các đường thẳng đồng quy cắt hai tuyến đường thẳng tuy vậy song)

- các đường thẳng đồng luật ra trên hai tuyến phố thẳng tuy vậy song hồ hết đoạn thẳng khớp ứng tỉ lệ.

(a//b Rightarrow fracABA"B" = fracBCB"C" = fracACA"C".)

- Ngược lại, nếu những đường trực tiếp định ra trên hai đường thẳng song song các đoạn thẳng khớp ứng tỉ lệ thì bọn chúng đồng quy tại một điểm.

(fracABA"B" = fracBCB"C" Rightarrow mAA",BB",CC") đồng quy tại O.

Việc minh chứng mệnh đề thuận được dựa thẳng vào định lí thuận của định lí Talet

Việc chứng minh mệnh đề đảo thường được dựa vào vào phương pháp chứng minh bội phản chứng.

Chú ý:

1. Fan ta thường thực hiện định lí Talet vào việc chứng minh các hệ thức dạng.

(eginarraylfracab = fraccd\a.d = b.c\a^2 = b.cendarray)

Nhất là lúc trong đưa thiết đến ta những đường thẳng tuy nhiên song.

2. Định lí hòn đảo của định lí Talet mang đến ta một cách chứng minh hai con đường thẳng tuy nhiên song.

3. Hệ trái của định lí Talet tổng quá cho ta cách minh chứng các con đường thẳng đồng quy.

Ví dụ 1: mang đến tam giác ABC. Bên trên cạnh AC ta mang hai điểm D, E làm sao để cho AD = DE = EC. Trung đường AM giảm BD tại p. Và trung tuyến đường CN cắt BE trên Q.

Xem thêm: Chạy Xe Đạp Có Tác Dụng Gì Đối Với Sức Khoẻ, Lợi Ích Của Đạp Xe Đem Đến Cho Sức Khoẻ

1. Minh chứng điểm Q là trung điểm của trung tuyến CN.

2. Chứng tỏ PQ // AC.

3. Suy ra (PQ = frac12MN) với (PQ = frac34DE.)

Giải

*

1. Nối AD. Vày N là trung điểm của AB, D là trung điểm của AE cần ND // BE tốt QE // ND.

QE // ND mà lại E là trung điểm của CD phải suy ra Q là trung điểm của CN.

2. Lí luận như trên, ta minh chứng được p là trung điểm của AM.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Như vậy

(AG = frac23AM,,,AP = frac12AM)

Cho ta (GP = AG - AP = frac23AM - frac12AM = frac16AM)

( Rightarrow fracGPGA = frac16AM:frac23AM = frac14)

Chứng minh tương tự, ta có:

(fracGQGC = frac14) tuyệt (fracGPGA = fracGQGC Rightarrow PQ//AC.)

3. PQ // AC nhưng MN // AC suy ra PQ // MN,

Cho ta (fracPQMN = fracGPGM = frac16AM:frac13AM Rightarrow fracPQMN = frac12)

( Rightarrow PQ = frac12MN)

(PQ = frac12MN) nhưng mà (MN = frac12AC Rightarrow PQ = frac14AC)

Vì (PQ = frac14AC) và (DE = frac13AC Rightarrow fracPQDE = frac34)

( Rightarrow PQ = frac34DE.)

Ví dụ 2: đến tứ giác lồi ABCD. Đường trực tiếp qua B và tuy nhiên song cùng với CD giảm AC tại F bà mặt đường thẳng qua C song song với AB cắt BD tại E. Minh chứng EF // AD.

Giải

*

Gọi O là giao điểm của nhì đường chéo AC và BD

Áp dụng định lí Talet thuận vào tam giác AOB.

(eginarraylEC//AB Rightarrow fracOCOA = fracOEOB\ Rightarrow OC.OB = OA.OE,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1)endarray)

Áp dụng định lí Talet thuận vào tam giác COD:

(eginarraylFB//DC Rightarrow fracOC mOF = fracODOB\ Rightarrow OC.OB = OD. mOF,,,,,,,,,,,,,,,,, m(2)endarray)

Từ (1) và (2) suy ra: (OA.OE = OD. mOF Rightarrow fracOAOF = fracODOE) (3)

Từ đẳng thức (3) theo định lí Talet đảo, ta tất cả ngay EF // AD.

Ví dụ 3: Cho góc nhọn xOy. Trên cạnh Ox mang hai điểm D, E. Một đường thẳng (d_1) qua D cắt cạnh Oy tại điểm F, mặt đường thẳng (d_2) đi qua E và tuy vậy song cùng với (d_1), cắt cạnh Oy trên điểm G. Đường thẳng (d_3)qua G và tuy vậy song với EF, giảm cạnh Ox tại điểm H. Chứng tỏ hệ thức: (OE^2 = OD.OH.)

Giải

*

Áp dụng định lí Talet thuận vào tam giác OEG:

(FD,,//,,EG Rightarrow fracODOE = frac mOFOG,,,,(1))

Với tam giác OGH, ta có:

(GH//FE Rightarrow fracOFOG = fracOEOH,,,,(2))

Từ (1) với (2) suy ra: (fracOEOH = fracODOE Rightarrow OE^2 = OD.OH)


Bài 1:Cho hình thang ABCD, đáy phệ AB. Trường đoản cú đỉnh C, kẻ mặt đường thẳng tuy vậy song với AD, đường này giảm BD tại p. Và giảm AB trên E. Qua D, kẻ đường thẳng song song với BC, con đường này giảm AC trên N và cắt AB trên F. Đường trực tiếp qua E tuy vậy song với AC cắt BC trên Q và mặt đường thẳng qua F tuy nhiên song cùng với BD giảm AD tại M.

1. Chứng tỏ bốn điểm M, N, P, Q vị trí một đường thẳng tuy nhiên song với nhị đáy.

2. Chứng minh MN = PQ

3. Cho AB = a, DC = b. Chứng minh rằng các điểm M, N, P, Q theo vật dụng tự chia những đoạn trực tiếp AD, AC, BD, BC theo và một tỉ số k. Tính k theo a, b.

Giải

*

1. Ta có:

(MF//DB Rightarrow fracAMDM = frac mAFFB)

Mà FB = DC đề xuất (fracAMDM = frac mAFDC,,,,(1))

(DC m // m AF Rightarrow fracAFDC = fracANNC,,,,(2))

Từ (1) với (2) suy ra (fracAMDM = fracANNC)

( Rightarrow MN,,,//DC,,,,,,,,,,,(3))

Tương tự, ta có: PQ // DC (4)

(MN//,,DC Rightarrow MN//,,AF Rightarrow fracAMMD = fracFNND.)

Dễ thấy (fracFNND = fracBQQC)

Vậy (fracAMMD = fracBQQC Rightarrow MQ//DC)

Từ (3), (4), (5) theo tiêu đề Ơclit, ta suy ra bốn điểm M, N, P, Q nằm trên thuộc một đường thẳng tuy vậy song cùng với DC.

2. Ta có: (fracMNDC = fracAMAD;,,fracPQDC = fracBQBC,, Rightarrow fracMNDC = fracPQDC Rightarrow MN = PQ.)

3. Hay thấy (fracMAMD = fracNANC = fracPBPD = fracQBQC = frac mAFDC = fraca - bb.)

Bài 2:Cho hình thang ABCD đáy mập CD; O là giao điểm của hai đường chéo. Đường trực tiếp qua A song song với BC cắt BD sinh sống E và đường thẳng qua B tuy vậy song cùng với AD giảm đường thẳng AC trên F.

1. Chứng tỏ EF // AB.

2. Chứng minh hệ thức (AB^2 m = EF m.CD)

3. Gọi (S_1,S_2,S_3,S_4) theo đồ vật tự là diện tích những tam giác OAB, OCD, OAD và OBC. Minh chứng hệ thức: (S_1.S_2 = S_3.S_4.)

Giải

*

1. Ta có

(eginarraylAE//BC Rightarrow fracOEOB = fracOAOC,,,(1)\BF//AD Rightarrow fracOFOA = fracOBOD,,,(2)\AB//DC Rightarrow fracOAOC = fracOBOD,,,(3)endarray)

Từ (1), (2) cùng (3) suy ra (fracOEOB = fracOFOA Rightarrow mEF//BC.)

2. Thường thấy AB = MC = DN

(AM//BC Rightarrow fracCDMC = fracDBEB)

Vì MC = AB đề xuất từ đây, ta bao gồm (fracCDAB = fracDBEB) (4)

( mEF//DC Rightarrow fracDNEF = fracDBEB)

Vì doanh nghiệp = AB yêu cầu từ đây, ta gồm (fracABEF = fracDBEB,,,,(5))

Từ (4) và (5) suy ra (fracABEF = fracCDAB Rightarrow AB^2 m = EF m.CD)

3. Ta có

(eginarraylfracS_OABS_OBC = fracOAOC;fracS_OADS_OCD = fracOAOC Rightarrow fracS_OABS_OBC = fracS_OADS_OCD\ Rightarrow S_1.S_2 = S_3.S_4endarray)

Bài 3:Cho tam giác ABC. Kẻ trung tuyến AM. Mang một điểm D bất kỳ trên đoạn trực tiếp AM, J là giao điểm của BD và AC; I là giao điểm của CD cùng AB. Minh chứng IJ // BC.

Xem thêm: Bà Bầu Bị Ho Khi Mang Thai Tháng Thứ 5 Và Cách Xử Lý An Toàn Cho Mẹ Bầu

Giải

*

Từ M kẻ đường thẳng tuy vậy song với DC cắt AB ở phường và kẻ đường thẳng tuy vậy song cùng với DB cắt AC ở Q. Dễ thấy.

IP = PB; JQ = QC

Ta có (MP//CI Rightarrow fracAIAP = fracADAM)

(MQ//BJ Rightarrow frac mAJAQ = fracADAM)

Suy ra (fracAIAP = frac mAJAQ Rightarrow mIJ//PQ,,,(1))

Ta lại sở hữu MP // CI ( Rightarrow fracMAMD = fracPAPI) mà lại PI = PB