Công thức tính độ dài đường trung tuyến

     

Công thức tính độ dài trung tuyến đường trong tam giác & những dạng bài tập

Sau đây trung học phổ thông Sóc Trăng sẽ share đến các bạn công thức tính độ dài trung con đường trong tam giác cực hay và các dạng toán mến gặp. Hãy chia sẻ để nắm chắc chắn thêm phần kiến thức Hình học tập 12 vô cùng đặc biệt này chúng ta nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN trong TAM GIÁC 


1. Đường trung tuyến đường là gì? Đường trung tuyến đường trong tam giác là gì?

Bạn vẫn xem: công thức tính độ lâu năm trung tuyến trong tam giác & những dạng bài tập

Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là 1 đường thẳng trải qua trung điểm của đường thẳng đó


Đường trung con đường trong tam giác là một trong những đoạn thẳng nối tự đỉnh của tam giác tới các cạnh đối lập nó. Mỗi tam giác có 3 con đường trung tuyến.

Bạn đang xem: Công thức tính độ dài đường trung tuyến

2. đặc thù của đường trung tuyến trong tam giác

Trong tam giác thường, vuông, cân đều sở hữu tính chất của con đường trung đường khác nhau.

Đường trung tuyến trong tam giác thường tất cả 3 đặc thù như sau:

3 đường trung con đường trong tam giác cùng đi sang 1 điểm, điểm đó cách đỉnh tam giác một khoảng chừng bằng độ dài của đường trung tuyến trải qua đỉnh đó.Giao điểm của 3 đường trung tuyến được gọi là trọng tâmVị trí trọng tâm trong tam giác: giữa trung tâm của 1 tam giác bí quyết mỗi đỉnh 1 khoảng chừng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

Tính chất đường trung con đường của tam giác vuông:

 Tam giác vuông là một trong trường hợp quan trọng đặc biệt của tam giác, vào đó, tam giác sẽ sở hữu một góc bao gồm độ khủng là 90 độ, và hai cạnh làm cho góc này vuông góc với nhau.

– vì chưng đó, đường trung tuyến đường của tam giác vuông vẫn có rất đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến đường tam giác.

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, con đường trung tuyến đường ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Định lý 2: Một tam giác tất cả trung đường ứng với cùng 1 cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Tính chất đường trung tuyến của tam giác đều, tam giác cân

Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc cùng với cạnh đấy, và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau

II. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN vào TAM GIÁC

Công thức:

Công thức tính độ dài đường trung tuyến đường của cạnh bất kỳ bằng căn bậc 2 của một trong những phần hai tổng bình phương hai cạnh kề trừ một trong những phần tư bình phương cạnh đối.


*

Trong đó: a, b ,c theo thứ tự là các cạnh trong tam giác

ma, mb, mc lần lượt là hồ hết đường trung con đường trong tam giác

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC, gồm BC = a, CA = b với AB = c. Chứng tỏ rằng trường hợp b2 + c2 = 5a2 thì nhị trung con đường kẻ từ bỏ B cùng C của tam giác vuông góc với nhau.

Xem thêm: Soạn Văn 8 Bài Tình Thái Từ Ngắn Gọn Và Hay Nhất, Soạn Bài Tình Thái Từ (Trang 80)

Lời giải:

*
cách làm tính độ dài đường trung đường (ảnh 6)" />

Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB với AC, G là giữa trung tâm tam giác ABC.

Đặt BE = mb, CD = mc

Áp dụng bí quyết trung đường trong tam giác ABC ta có:

*
cách làm tính độ dài con đường trung tuyến đường (ảnh 7)" />

Vậy b2 + c2 = 5a2 thì nhì trung đường kẻ từ B với C của tam giác vuông góc cùng với nhau. (đpcm)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung con đường của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi độ lâu năm trung con đường từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; mc.

Áp dụng bí quyết trung tuyến ta có:

*
cách làm tính độ dài mặt đường trung đường (ảnh 4)" />

Vì độ dài những đường trung đường (là độ dài đoạn thẳng) đề nghị nó luôn dương, bởi đó:

*
bí quyết tính độ dài đường trung tuyến đường (ảnh 5)" />

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, hai tuyến phố trung con đường BD với CE giảm nhau trên G. Kéo dãn AG cắt BC tại H.

a. đối chiếu tam giác AHB với tam giác AHC.

b. điện thoại tư vấn I và K lần lượt là trung điểm của GA và GC. Chứng tỏ rằng AK, BD, CI đồng quy.

Lời giải:

*
bí quyết tính độ dài con đường trung con đường (ảnh 11)" />

a. Ta gồm BD là con đường trung đường của tam giác ABC

CE là đường trung tuyến của tam giác ABC

Vậy G là giữa trung tâm tam giác ABC

Mà AH trải qua G phải AH là con đường trung tuyến của tam giác ABC

HB = HC

Xét nhị tam giác AHB và tam giác AHC có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

AH chung

HB = HC

⇒ ΔAHB = ΔAHC (c – c – c)

b. Ta có IA = IG đề xuất CI là đường trung con đường của tam giác AGC (1)

Ta lại sở hữu KG = KC đề nghị AK là con đường trung tuyến đường của tam giác AGC (2)

DG là con đường trung con đường của tam giác AGC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 3 con đường trung tuyến CI, AK, DG đồng quy tại I

Bài 2: Cho tam giác ABC tất cả BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung đường của tam giác ABC.

Xem thêm: Đọc Full Truyện Ngôn Tình Tiểu Thuyết Hạnh Phúc Đến Từ Anh Full

Lời giải:

Gọi độ nhiều năm trung con đường từ những đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; mc.

Áp dụng bí quyết trung tuyến ta có:

*

Vì độ dài những đường trung tuyến đường (là độ nhiều năm đoạn thẳng) phải nó luôn dương, bởi đó:

*

Bài 3: Cho tam giác MNP cân nặng tại M, biết MN = MP = 8cm, NP = 7cm. Kẻ con đường tuyến MI. Minh chứng MI ﬩ NP

Lời giải:

Ta bao gồm MI là con đường trung tuyến đường của ∆MNP bắt buộc IN = IP

Mặt khác ∆MNP là tam giác cân nặng tại M

=> mi vừa là con đường trung đường vừa là đường cao

=> ngươi ﬩ NP

Bài 4: Cho tam giác ABC bao gồm AB = AC, gọi K là giao điểm của hai tuyến phố trung con đường BM và CN. Chứng tỏ rằng:

a. Tam giác BNC và tam giác CMB bằng nhau

b. KB = KC

c. BC

*
công thức tính độ dài đường trung tuyến (ảnh 12)" />

a. Ta có: AB = AC (gt)

*
công thức tính độ dài đường trung đường (ảnh 13)" />

⇒ BN = CM

Xét ΔBCN và ΔCBM có:

BC là cạnh chung

BN = CM

*
phương pháp tính độ dài con đường trung đường (ảnh 14)" />

Nên tam giác KBC cân nặng tại A

Suy ra KB = KC

c. Xét ΔABC có:

NA = NB (CN là đường trung tuyến)

MA = MC (MB là mặt đường trung tuyến)

Suy ra NM là mặt đường trung bình của tam giác ABC

*
bí quyết tính độ dài đường trung đường (ảnh 15)" />

Xét tam giác NKM có:

NM 2 = AB2 + AC2 ⇒ BC2 = 182 + 242 = 900 ⇒ BC = 30cm

Ta có ABC vuông cơ mà D là trung điểm cạnh huyền yêu cầu AD = BD = DC = 15cm

Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm

Xét tam giác AEC vuông tại A, vận dụng định lý Pitago ta có:

EC2 = AE2 + AC2 ⇒ EC2 = 92 + 242 = 657 ⇒ EC = 3√73 centimet ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm

Tương trường đoản cú ta xét tam giác AFB vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

BF2 = AB2 + AF2 ⇒BF2 = 182 + 122 = 468 ⇒ BF = 6√13 centimet ⇒ BG = 2/3 BF = 4√13 cm

Tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến những đỉnh của tam giác là:

AG + BG + CG = 10 + 4√13 + 2√73 (cm)

Bài 7: Gọi S = ma2 + mb2 + mc2 là tổng bình phương độ dài tía đường trung đường của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đấy là đúng? (cho BC = a, CA = b, AB = c)

*

Lời giải:

Áp dụng cách làm trung tuyến đường trong tam giác ABC ta có:

*

Đáp án A

Bài 8: Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 5 và độ dài đường trung tuyến 

*
. Độ lâu năm AC là:

*

Hướng dẫn giải:

*

BM là trung đường của tam giác ABC, vận dụng công thức trung tuyến ta có:

*

Đáp án B