Cách Xác Định Tâm Mặt Cầu Nội Tiếp Hình Chóp

     

1. Mặt ước nội tiếp hình chóp là mặt ước nằm bên phía trong hình chóp cùng tiếp xúc với tất cả các phương diện của hình chóp.Bạn vẫn xem: Cách xác minh tâm mặt mong nội tiếp hình chóp

2. Điều kiện để một hình chóp đỉnh S gồm hình ước nội tiếp trung khu I là trên dưới mặt đáy có một điểm M bí quyết đều toàn bộ các mặt bên của hình chóp và khi đó I nằm ở đoạn SM.

Bạn đang xem: Cách xác định tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp

3. Vai trung phong hình ước nội tiếp cách đều tất cả các phương diện của hình chóp vào nằm trên phân giác của góc nhị diện tạo vì chưng hai mặt kề nhau của hình chóp.

4. Trường hợp một khối đa diện tất cả hình mong nội tiếp thì bán kính của nó được tính theo công thức:

$r=frac3VS_tp$ , V: thể tích khối đa diện;

$S_tp$ diện tích s toàn phần khối đa diện.

B. Bài bác tập

Bài 1. Trong khía cạnh phẳng (P) đến hình thang ABCD cân, lòng là AB với CD nước ngoài tiếp con đường tròn (C) tâm O, bán kính R. Trê tuyến phố thẳng (d) vuông góc với phương diện phẳng (P) trên O, mang điểm S sao cho OS = 2R. đưa sử CD = 4AB.

a) Tính diện tích s toàn phần với thể tích của hình chóp SABCD.

b) chứng tỏ rằng O phương pháp đều 4 mặt mặt của hình chóp SABCD. Từ đó tìm vai trung phong và nửa đường kính hình cầu nội tiếp hình chóp.

Giải


*

a) Hình thang ABCD có những cạnh tiếp xúc với đường tròn tại M, N, P, Q. (Hình vẽ bên)

Đặt AB = 2x $Rightarrow $ CD = 8x $Rightarrow $AD = 5x

Ta tất cả $AD^2=AAprime ^2+DAprime ^2$ (A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A lên CD)

$Rightarrow x=fracR2$

$Rightarrow SM=sqrtSO^2+OM^2=sqrt4R^2+R^2=Rsqrt5$

Do các mặt mặt của hình chóp là các tam giác gồm đường cao bằng $Rsqrt5$ buộc phải ta có:

= $frac12$SM.(AB + BC + CD + DA) + $frac12$(AB + CD).NQ

= $frac12$.$Rsqrt5$.10R + $frac12$5R.2R

$Leftrightarrow S_tp=5R^2left( 1+sqrt5 ight)$

$V=frac13Bh=frac13.5R^2.2RLeftrightarrow V=frac10R^33$

b) khoảng cách từ O cho 4 phương diện bên đó là độ dài của 4 con đường cao bắt nguồn từ O của tam giác vuông và cân nhau SOM, SON, SOP, SOQ. Suy ra O biện pháp đều 4 mặt bên của hình chóp.

Vậy hình chóp có mặt cầu nội tiếp trọng tâm I nằm trên đoạn SO. Vị I giải pháp đều 2 phương diện (SAD) và (ABCD) cần I là vị trí phân giác của góc trong tam giác SMO.

Gọi r là bán kính mặt mong nội tiếp thì:

$r=frac3VS_tp=frac10R^35R^2left( 1+sqrt5 ight)Leftrightarrow r=fracRleft( sqrt5-1 ight)2$

Bài 2. đến tứ diện ABCD cùng với AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a.

a) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Xem thêm: Bất Đẳng Thức Cộng Mẫu - Cm Cô Si Cộng Mẫu (Bất Đẳng Thức Svac

Giải

a) gọi I, J là trung điểm của AB với CD.

Ta tất cả IJ$ot $AB, IJ$ot $CD.

Gọi O là trung điểm IJ thì ta gồm OA = OB với OC = OD, hình như AB = CD = c cần hai tam giác vuông OIB với OJC đều bằng nhau nên: OA = OB = OC = OD = R. Vậy O cách đều 4 đỉnh A, B, C, D


*

$Rightarrow $ Mặt mong ngoại tiếp tứ diện ABCD gồm $R^2=OA^2=OI^2+AI^2=fracIJ^2+c^24$

Vì CI là trung tuyến $Delta $ABC nên: $CI^2=frac2a^2+2b^2-c^24$

Suy ra $IJ^2=CI^2-CJ^2=fraca^2+b^2-c^22$

Như vậy $R^2=OA^2=fraca^2+b^2+c^28$ và mặc tích mặt mong ngoại tiếp tứ diện $S=4pi R^2=fracpi 2left( a^2+b^2+c^2 ight)$

b) những mặt của tứ diện là các tam giác bằng nhau nên các đường tròn ngoại tiếp những tam giác kia có bán kính r bởi nhau. Những đường tròn đó đều nằm bên trên mặt cầu (O; R) nên khoảng cách từ O đến các mặt phẳng chứa những đường tròn đó cân nhau và bằng: h =$sqrtR^2-r^2$ .

Vậy mặt cầu tâm O, bán kính h là mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.

Bài 3. mang lại tứ diện OABC trong những số ấy OA, OB, OC đương đầu vuông góc cùng với nhau. Kẻ mặt đường cao OH = h. Gọi r là bán kính hình ước nội tiếp tứ diện. Tìm giá bán trị lớn số 1 của $frachr$ .

Giải


*

Đặt OA = a, OB = b, OC = c.

Ta gồm : $frac1h^2=frac1a^2+frac1b^2+frac1c^2$ (1) cùng $r=frac3VS_tpRightarrow frac1r=fracS_tp3V$

Mà $fracS_tp3V=fracS_Delta OAB+S_Delta OBC+S_Delta OAC+S_Delta ABC3V=frac1a+frac1b+frac1c+frac1h$

$Rightarrow frac1r=frac1a+frac1b+frac1c+frac1hLeftrightarrow frac1r-frac1h=frac1a+frac1b+frac1c$ (2)

Ta lại có: $left( frac1a+frac1b+frac1c ight)^2le 3left( frac1a^2+frac1b^2+frac1c^2 ight)$ (3)

Dấu đẳng thức xẩy ra khi a = b = c.

Từ (1) cùng (3) (4)

Từ (2) cùng (4) $Rightarrow frac1r-frac1hle fracsqrt3hLeftrightarrow frac1rle frac1hleft( 1+sqrt3 ight)Leftrightarrow frachrle 1+sqrt3$

Suy ra $frachr$ lớn số 1 $=1+sqrt3Leftrightarrow a=b=c$

Vậy $frachr$ max là $1+sqrt3$ lúc OA = OB = OC.

Xem thêm: Tuyển Tập Đề Thi Học Kì 2 Môn Ngữ Văn Lớp 11 Môn Văn Năm 2022

Bài 4. Mang đến r, R theo thứ tự là nửa đường kính mặt cầu nội tiếp cùng ngoại tiếp của một tứ diện hoàn toàn có thể tích là V. Chứng minh rằng: $8R^2rge 3sqrt3V$

Giải

Ta có: $overrightarrowAB=overrightarrowOB-overrightarrowOARightarrow overrightarrowAB^2=2R^2-2overrightarrowOA.overrightarrowOBRightarrow 2.overrightarrowOA.overrightarrowOB=2R^2-AB^2$

Mặt khác $4overrightarrowOG=overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC+overrightarrowOD$ đề nghị suy ra

$16OG^2=4R^2+left( 2R^2-AB^2 ight)+left( 2R^2-BC^2 ight)+left( 2R^2-CD^2 ight)+left( 2R^2-DA^2 ight)+left( 2R^2-DB^2 ight)+left( 2R^2-AC^2 ight)$$Leftrightarrow 16OG^2=4R^2+12R^2-left( a^2+b^2+c^2+aprime ^2+bprime ^2+cprime ^2 ight)ge 0$

$Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+aprime ^2+bprime ^2+cprime ^2le 16R^2$ (1)

Bổ đề: trong $Delta $ABC có các cạnh BC = a, AC = b, AD = c, S là diện tích tam giác thì:

$a^2+b^2+c^2ge 4Ssqrt3$

Thật vậy: $S=sqrtpleft( p-a ight)left( p-b ight)left( p-c ight)le sqrtp.left^3$ (Theo bất đẳng thức Cô si) $Leftrightarrow Sle fracp^23sqrt3Leftrightarrow 3sqrt3Sle p^2Leftrightarrow 12sqrt3Sle left( a^2+b^2+c^2 ight)le 3left( a^2+b^2+c^2 ight)$

$Rightarrow a^2+b^2+c^2ge 4sqrt3S$

Áp dụng cho các mặt của tứ diện: $a^2+b^2+c^2ge 4S_dsqrt3$ và tương tự cho $S_a,S_b,S_c$.

Cộng lại ta được: $2left( a^2+b^2+c^2+aprime ^2+bprime ^2+cprime ^2 ight)ge 4sqrt3S_tp$ (2)

Từ (1) cùng (2) $Rightarrow 16R^2ge 2sqrt3S_tpLeftrightarrow 8R^2ge sqrt3S_tp$ (3)