BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN LỚP 10 CÓ LỜI GIẢI

  -  

Các dạng bài bác tập toán về phương trình đường tròn là trong những nội dung mà đa số chúng ta cảm thấy "dễ thở hơn" bởi nội dung cũng khá rõ ràng và dễ hiểu, mặc dù nội dung này cũng không thiếu các bài bác tập nặng nề nhằn đâu nhé.

Bạn đang xem: Bài tập về phương trình đường tròn lớp 10 có lời giải


Vì vậy, trong nội dung bài viết này chúng ta cùng khối hệ thống lại những dạng bài xích tập toán về phương trình đường tròn, áp dụng giải qua các ví dụ minh hoạ cầm cố thể, để từ đó những em thuận tiện vận dụng cùng phân loại khi gặp mặt các dạng bài bác tập về con đường tròn.


» Đừng bỏ lỡ: Tổng hợp các dạng toán phương trình đường thẳng trong khía cạnh phẳng cực hay

Đây cũng là nội dung nền tảng gốc rễ cho kiến thức và kỹ năng về mặt mong trong không khí ở lớp 12, và trước lúc bắt tay vào giải các dạng bài tập con đường tròn thì họ phải nắm rõ được tính chất của mặt đường tròn qua phần lý thuyết.

I. Triết lý về phương trình đường tròn

1. Phương trình đường tròn:

- Phương trình mặt đường tròn có tâm I(a;b), nửa đường kính R là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

*
- ví như a2 + b2 - c > 0 thì phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của con đường tròn tâm I(a;b), bán kính 
*

2. Phương trình tiếp tuyến của mặt đường tròn

- cho điểm M0(x0; y0) nằm trên tuyến đường tròn (C) tâm I(a;b), tiếp tuyến tại M0 của (C) có phương trình:

 (x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0

*
II. Những dạng bài tập phương trình mặt đường tròn.

Dạng 1: dấn dạng phương trình mặt đường tròn, tìm đk để 1 PT là phương trình mặt đường tròn

* Phương pháp:

+) biện pháp 1: Đưa phương trình đã mang lại về dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = p (*)

 - Nếu phường > 0 thì (*) là PT con đường tròn chổ chính giữa I(a;b) và buôn bán kính 

*

 - ví như P ≤ 0 thì (*) là KHÔNG là PT mặt đường tròn.

+) phương pháp 2: Đưa phương trình đã cho về dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (**)

 ° Đặt p = a2 + b2 - c 

 - Nếu phường > 0 thì (**) là PT đường tròn trọng điểm I(a;b) và bán kính

*

 - trường hợp P ≤ 0 thì (**) là KHÔNG là PT con đường tròn.

 Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào màn biểu diễn phương trình đường tròn, tìm trọng tâm và nửa đường kính nếu có.

a) x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0

b) x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0

c) 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0

d) 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0

* Lời giải:

a) x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0,

- Ta có a = -1; b = 2; c = 9 nên a2 + b2 - c = (-1)2 + (2)2 - 9 = -4 2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0,

- giống như có: a2 + b2 - c = (3)2 + (-2)2 - 13 = 0 2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0 ⇔ x2 + y2 - 4x - 2y - 3 = 0

- tương tự như có: a2 + b2 - c = (2)2 + (1)2 + 3 = 8 > 0, đó là phương trình đường tròn trọng điểm I(2;1) nửa đường kính R=2√2.

d) 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0, phương trình này không hẳn pt con đường tròn vì hệ số của x2 cùng y2 không giống nhau.

 Ví dụ 2: Cho con đường cong (Cm): x2 + y2 - 2mx - 4(m-2)y + 6 - m = 0

a) Tìm điều kiện của m để (Cm) là phương trình đường tròn.

b) khi (Cm) là pt mặt đường tròn search toạ độ trọng điểm và nửa đường kính theo m.

* Lời giải:

a) Để (Cm) là phương trình con đường tròn thì: mét vuông +<2(m-2)>2 - (6 -m) > 0

⇔ m2 + 4m2 - 16m + 16 - 6 + m > 0

⇔ 5m2 - 15m + 10 > 0

⇔ m2 - 3m + 2 > 0

⇔ m 2

b) Với điều kiện trên thì (Cm) gồm tâm I và chào bán kính 

*

 Ví dụ 3: Cho (Cα): x2 + y2 - 2xcosα - 2ysinα + cos2α = 0 (với α ≠ kπ)

a) CMR (Cα) là con đường tròn

b) Xác định α để (Cα) có bán kính lớn nhất

c) tìm kiếm quỹ tính trung khu I của (Cα)

* Lời giải:

a) Để (Cα) là con đường tròn thì : cos2α + sin2α - cos2α > 0

- Ta có; VT = cos2α + sin2α - cos2α = 1 - cos2α = 2sin2α > 0 (với α ≠ kπ)

- giữ ý: Nếu α = kπ đường tròn là 1 điểm.

b) Để (Cα) có bán kính lớn nhất:

- Ta có: R2 = 2sin2α ≤ 2 (do 0 ≤ sin2α ≤ 1)

 ⇒ Rmax = √2 khi sinα = 1 ⇒ α = (π/2 + kπ).

c) Đường tròn Cα gồm toạ độ tâm I(cosα; sinα) tức là: 

*
 khử α ta có: x2 + y2 = 1 đó là quỹ tích chổ chính giữa I của Cα.

• Dạng 2: Lập phương trình mặt đường tròn đi qua các điểm

* Phương pháp:

° Cách 1: 

 - kiếm tìm toạ độ trung tâm I(a;b) của mặt đường tròn (C)

 - Tìm nửa đường kính R của (C)

 - Viết phương trình mặt đường tròn (C) dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

° phương pháp 2: Giả sử phương trình con đường tròn (C) bao gồm dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

 - Từ điều kiện bài toán cho tùy chỉnh cấu hình hệ pt 3 ẩn a, b, c

 - Giải hệ tìm kiếm a, b, c cầm cố vào pt đường tròn (C).

Xem thêm: Vai Trò Của Bán Cầu Não Trái Điều Khiển Gì, Sự Khác Nhau Giữa Bán Cầu Não Trái Và Phải

* giữ ý: Đường tròn (C) trải qua điểm A, B thì IA2 = IB2 = R2 với thường được áp dụng vào việc yêu ước viết phương trình mặt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (chính là viết pt đường tròn qua 3 điểm A, B, C).

 Ví dụ: Lập phương trình đường tròn (C) trong số trường hòa hợp sau:

a) tất cả tâm I(1;-3) và trải qua điểm O(0;0)

b) Có đường kính AB với A(1;1), B(5,3).

c) Đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

* Lời giải:

a) (C) bao gồm tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0):

- Ta gồm R = OI, mà 

*

⇒ Đường tròn (C) gồm tâm I(1;-3) và bán kính 

*
 có pt:

 (x - 1)2 + (y + 3)2 = 10

b) (C) có 2 lần bán kính AB cùng với A(1;1), B(5,3).

- Ta có toạ độ vai trung phong I của (C) là trung điểm A,B là:

 

*
 
*

- bán kính 

*

⇒ Đường tròn (C) bao gồm tâm I(3;2) và bán kính

*
 có pt:

(x - 3)2 + (y - 2)2 = 5

c) Đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

- Goi (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

- vày (C) trải qua A, B, C phải thay lần lượt toạ độ A, B, C vào pt đường tròn (C) ta có hệ sau:

 

*
 
*
*

- Giải hệ trên ta được 

*

⇒ Đường tròn (C) là: 

*

• Dạng 3: Viết phương trình con đường tròn tiếp xúc với con đường thẳng

* Phương pháp: phụ thuộc tính hóa học tiếp tuyến

- Đường tròn (C) xúc tiếp với mặt đường thẳng (Δ) thì: d = R

- Đường tròn (C) tiếp xúc với con đường thẳng (Δ) tại điểm A thì: d = IA = R

- Đường tròn (C) xúc tiếp với 2 con đường thẳng (Δ1) với (Δ2) thì: d = d = R

 Ví dụ 1: Lập phương trình mặt đường tròn (C) trong những trường phù hợp sau:

a) (C) gồm tâm I(2;5) cùng tiếp xúc với Ox

b) (C) có tâm I(-1;2) cùng tiếp xúc với đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

c) (C) đi qua A(2;-1) với tiếp xúc cùng với 2 trục toạ độ Ox, Oy

* Lời giải:

a) (C) có tâm I(2;5) cùng tiếp xúc với Ox

- Ox có phương trình: y = 0

- bán kính R của con đường tròn là khoảng cách từ I cho Ox ta có:

 

*

⇒ Phương trình mặt đường tròn (C) gồm dạng: (x - 2)2 + (y - 5)2 = 25

b) (C) gồm tâm I(-1;2) và tiếp xúc với con đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

- Ta có:

*
*

⇒ Phương trình con đường tròn (C) có dạng: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 5

c) (C) trải qua A(2;-1) cùng tiếp xúc với 2 trục toạ độ Ox, Oy

- vì A nằm ở góc phần tứ thứ tư đề xuất đường tròn cũng nằm trong góc phần tứ thứ bốn này, đề xuất toạ độ trung khu I=(R;-R).

- Ta có:

*

⇔ R2 = R2 - 4R + 4 + R2 - 2R + 1

⇔ R2 - 6R + 5 = 0

⇔ R = 1 hoặc R = 5

⇒ Vậy bao gồm 2 mặt đường tròn thoả mãn điều kiện bài toán là:

 (C1): (x - 1)2 + (y + 1)2 = 1

 (C2): (x - 5)2 + (y + 5)2 = 25

 Ví dụ 2: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai tuyến phố thẳng (d1): x + 2y - 3 = 0 với (d2): x + 3y - 5 = 0. Lập phương trình con đường tròn có nửa đường kính bằng R=√10 gồm tâm trực thuộc d1 với tiếp xúc cùng với d2.

* Lời giải:

- trung khu I ∈ d1 nên I(-2a+3;a) bởi (C) xúc tiếp với d2 đề xuất ta có:

 

*
*

⇒ I1(19;-8) cùng I2(-21;12)

⇒ gồm 2 mặt đường tròn thoả mãn đk là:

 (C1): (x - 19)2 + (y + 8)2 = 10

 (C2): (x + 21)2 + (y - 12)2 = 10

 Ví dụ 3: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai tuyến phố thẳng (d1): x + 2y - 8 = 0 với (d2): 2x + y + 5 = 0 . Viết phương trình con đường tròn có tâm nằm tại (d): x - 2y + 1 = 0 xúc tiếp với (d1) và d2.

* Lời giải:

- Tâm I ∈ d nên I(2a-1;a) bởi (C) xúc tiếp với (d1) cùng (d2) đề nghị ta có:

*

*

*
*

⇒ Vậy gồm 2 đường tròn đồng tình điều kiện.

- với a = -12 thì I(-25;-12), 

*
 Phương trình con đường tròn (C1):

 

*
 

- Với 

*
 thì 
*
*
 Phương trình đường tròn (C2):

 

*

• Dạng 4: Viết phương trình mặt đường tròn nội tiếp tam giác

* Phương pháp:

° biện pháp 1:

- Tính diện tích S cùng nửa chu vi phường của tam giác nhằm tính được nửa đường kính đường tròn 

*

- call I(a;b) là chổ chính giữa của con đường tròn nội tiếp thì khoảng cách từ I tới 3 cạnh của tam giác đều nhau và bằng r, từ kia lập thành hệ pt cùng với 2 ẩn a, b.

- Giải hệ phương trình ta kiếm được giá trị của a, b với phương trình mặt đường tròn.

° phương pháp 2:

- Viết phương trình con đường phân giác trong của 2 góc vào tam giác.

- tìm giao điểm 2 mặt đường phân giác đó ta được chổ chính giữa I của đường tròn

- Tính khoảng cách từ I cho tới 1 cạnh ngẫu nhiên của tam giác ta được phân phối kính.

 Ví dụ 1: Cho 2 điểm A(4;0) và B(0;3)

a) Viết phương trình đường tròn nước ngoài tiếp tam giác OAB

b) Viết phương trình mặt đường tròn nội tiếp tam giác OAB

* Lời giải:

a) Tam giác OAB vuông tại O đề xuất tâm của mặt đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác OAB là trung điểm của cạnh huyền AB bắt buộc tâm toạ độ trung tâm I của đường tròn nội tiếp là: I=(2;3/2).

⇒ chào bán kính: R = IA = 5/2

⇒ PT con đường tròn nước ngoài tiếp tam giác OAB là: 

*

b) Ta vẫn tính diện tích s và nửa chu vi của OAB

- Ta gồm

*

- Nửa chu vi: 

*

⇒ 

*

- bởi đường tròn tiếp xúc với 2 trục toạ độ bắt buộc tâm Ir=(r;r)=(1;1)

⇒ Pt đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1

 Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo vày 3 mặt đường thẳng:

 (d1): 4x - 3y - 65 = 0

 (d2): 7x - 24y + 55 = 0

 (d3): 3x + 4y - 5 = 0

* Lời giải:

- điện thoại tư vấn ABC là tam giác đã cho với các cạnh là:

 AB: 4x - 3y - 65 = 0

 BC: 7x - 24y + 55 = 0

 CA: 3x + 4y - 5 = 0

- Ta tính được A(11;-7), B(23;9), C(-1;2)

- Ta tất cả VTPT:

*
,
*
 

- dễ thấy tam giác vuông trên A do 

*

- Tính độ dài các cạnh ta có: AB = 20 ; BC = 25; CA = 15

- diện tích tam giác ABC: SABC = 150

- Nửa chu vi là: 

*

- bán kính đường tròn nội tiếp là: r = S/P = 150/30 = 5.

Xem thêm: Cách Làm Nộm Dưa Chuột Cà Rốt Chay Của Thùy Ngân, 3 Cách Làm Nộm Dưa Chuột

- Gọi nửa đường kính đường tròn nội tiếp là I(a;b) thì khoảng cách từ I tới các đường thẳng vẫn cho hồ hết là r=5 đề xuất ta có.