Bài tập tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

  -  

Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm giao tuyến của nhị mặt phẳng thông qua các ví dụ minh họa có giải mã chi tiết.

Bạn đang xem: Bài tập tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Phương pháp+ Giao đường là mặt đường thẳng thông thường của hai mặt phẳng, gồm nghĩa giao đường là con đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia.+ ý muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm nhì điểm bình thường thuộc cả nhì mặt phẳng, nối hai điểm chung này được giao tuyến cần tìm.+ Về dạng toán này, điểm chung thứ nhất thường dễ dàng tìm, điểm chung còn sót lại ta phải tìm hai tuyến đường thẳng theo thứ tự thuộc nhị mặt phẳng, đồng thời cùng thuộc một phương diện phẳng thứ cha mà bọn chúng không song song với nhau, giao điểm của hai tuyến phố thẳng đó là điểm chung máy hai.

Ví dụ minh họaVí dụ 1: mang lại tứ giác $ABCD$ làm thế nào cho các cạnh đối không tuy nhiên song với nhau. đem một điểm $S$ không thuộc khía cạnh phẳng $(ABCD)$. Xác minh giao tuyến đường của nhị mặt phẳng:a) mặt phẳng $(SAC)$ cùng mặt phẳng $(SBD).$b) khía cạnh phẳng $(SAB)$ với mặt phẳng $(SCD).$c) phương diện phẳng $(SAD)$ với mặt phẳng $(SBC).$

*

a) Ta có: $S in left( SAC ight) cap left( SBD ight)$ $(1).$Trong mặt phẳng $(ABCD)$ điện thoại tư vấn $O = AC cap BD.$Vì $left{ eginarraylO in AC,AC subset left( SAC ight)\O in BD,BD subset left( SBD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow O in left( SAC ight) cap left( SBD ight)$ $(2).$Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $left( SAC ight) cap left( SBD ight) = SO.$b) Ta có: $S in left( SAB ight) cap left( SCD ight)$ $(3).$Trong khía cạnh phẳng $(ABCD)$ gọi $E = AB cap CD.$Vì: $left{ eginarraylE in AB,AB subset left( SAB ight)\E in CD,CD subset left( SCD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow E in left( SAB ight) cap left( SCD ight)$ $(4).$Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $left( SAB ight) cap left( SCD ight) = SE.$c) Ta có: $S in left( SAD ight) cap left( SBC ight)$ $(5).$Trong phương diện phẳng $(ABCD)$ gọi $F = AD cap BC.$Vì $left{ eginarraylF in AD,AD subset left( SAD ight)\F in BC,BC subset left( SBC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow F in left( SAD ight) cap left( SBC ight)$ $(6).$Từ $(5)$ với $(6)$ suy ra: $left( SAD ight) cap left( SBC ight) = SF.$

Ví dụ 2: cho tứ diện $ABCD$. Hotline $I, J$ thứu tự là trung điểm những cạnh $AD, BC.$a) kiếm tìm giao con đường của nhì mặt phẳng $(IBC)$ và mặt phẳng $(JAD).$b) lấy điểm $M$ ở trong cạnh $AB$, $N$ trực thuộc cạnh $AC$ làm sao để cho $M,N$ ko là trung điểm. Tìm kiếm giao con đường của hai mặt phẳng $(IBC)$ cùng mặt phẳng $(DMN).$

*

a) tìm kiếm giao tuyến đường của $2$ khía cạnh phẳng $(IBC)$ và $(JAD).$Ta có:$left{ eginarraylI in left( IBC ight)\I in AD,AD subset left( JAD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow I in left( IBC ight) cap left( JAD ight)$ $(1).$$left{ eginarraylJ in left( JAD ight)\J in BC,BC subset left( IBC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow J in left( IBC ight) cap left( JAD ight)$ $(2).$Từ $(1)$ với $(2)$ suy ra: $left( IBC ight) cap left( JAD ight) = IJ.$b) tra cứu giao tuyến đường của $2$ mặt phẳng $(IBC)$ và $(DMN)$.Trong phương diện phẳng $(ABD)$ gọi $E = BI cap DM.$Vì $left{ eginarraylE in BI,BI subset left( IBC ight)\E in DM,DM subset left( DMN ight)endarray ight.$ $ Rightarrow E in left( IBC ight) cap left( DMN ight)$ $(3).$Trong phương diện phẳng $(ACD)$ gọi $F = CI cap DN.$Vì $left{ eginarraylF in CI,CI subset left( IBC ight)\F in DN,DN subset left( DMN ight)endarray ight.$ $ Rightarrow F in left( IBC ight) cap left( DMN ight)$ $(4).$Từ $(3)$ với $(4)$ suy ra: $left( IBC ight) cap left( DMN ight) = EF.$

Ví dụ 3: mang lại tứ diện $ABCD$. Rước điểm $M$ nằm trong cạnh $AB$, $N$ trực thuộc cạnh $AC$ làm thế nào cho $MN$ giảm $BC$. điện thoại tư vấn $I$ là điểm bên trong tam giác $BCD.$ tra cứu giao tuyến của hai mặt phẳng:a) phương diện phẳng $(MNI)$ với mặt phẳng $(BCD).$b) phương diện phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(ABD).$c) phương diện phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(ACD).$

*

a) phương diện phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(BCD).$Gọi $H = MN cap BC$ $left( MN,BC subset left( ABC ight) ight).$Ta có:$I in left( IMN ight) cap left( BCD ight)$ $(1).$$left{ eginarraylH in MN,MN subset left( IMN ight)\H in BC,BC subset left( BCD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow H in left( IMN ight) cap left( BCD ight)$ $(2).$Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $left( IMN ight) cap left( BCD ight) = HI.$b) phương diện phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(ABD).$Trong phương diện phẳng $(BCD)$, call $E$ cùng $F$ theo lần lượt là giao điểm của $HI$ cùng với $BD$ cùng $CD.$Ta có:$left{ eginarraylM in left( MNI ight)\M in AB subset left( ABD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow E in left( MNI ight) cap left( ABD ight)$ $(3).$$left{ eginarraylE in HI subset left( MNI ight)\E in BD subset left( ABD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow E in left( MNI ight) cap left( ABD ight)$ $(4).$Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $left( MNI ight) cap left( ABD ight) = ME.$c) mặt phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(ACD).$Ta có:$left{ eginarraylN in left( MNI ight)\N in AC subset left( ACD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow N in left( MNI ight) cap left( ACD ight)$ $(5).$$left{ eginarraylF in HI subset left( MNI ight)\F in CD subset left( ACD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow F in left( MNI ight) cap left( ACD ight)$ $(6).$Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra: $left( MNI ight) cap left( ACD ight) = NF.$

Ví dụ 4: cho hình chóp $S.ABCD$ gồm đáy $ABCD$ là hình thang gồm $AB$ tuy nhiên song với $CD$. Hotline $I$ là giao điểm của $AD$ và $BC$.

Xem thêm: Cách Chiên Khoai Tây Bằng Lò Vi Sóng Siêu Ngon, Cách Để Nướng Khoai Tây Trong Lò Vi Sóng



Xem thêm: Hình Ảnh Trò Chơi Kéo Co ” (Trò Chơi Dân Gian), Trò Chơi Kéo Co

Mang $M$ trực thuộc cạnh $SC$. Search giao tuyến của nhì mặt phẳng:a) mặt phẳng $(SAC)$ với mặt phẳng $(SBD).$b) phương diện phẳng $(SAD)$ và mặt phẳng $(SBC).$c) phương diện phẳng $(ADM)$ cùng mặt phẳng $(SBC).$

*

a) tra cứu giao con đường của $2$ phương diện phẳng $(SAC)$ cùng $(SBD).$Ta có: $S in left( SAC ight) cap left( SBD ight)$ $left( 1 ight).$Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $H = AC cap BD$, ta có:$left{ eginarraylH in AC subset left( SAC ight)\H in BD subset left( SBD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow H in left( SAC ight) cap left( SBD ight)$ $left( 2 ight).$Từ $(1)$ với $(2)$ suy ra $left( SAC ight) cap left( SBD ight) = SH.$b) search giao tuyến đường của $2$ mặt phẳng $(SAD)$ với $(SBC)$.Ta có: $S in left( SAD ight) cap left( SBC ight)$ $left( 3 ight).$Trong phương diện phẳng $left( ABCD ight)$ gọi $I = AD cap BC$, ta có:$left{ eginarraylI in AD subset left( SAD ight)\I in BC subset left( SBC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow I in left( SAD ight) cap left( SBC ight)$ $(4).$Trong $(3)$ và $(4)$ suy ra: $left( SAD ight) cap left( SBC ight) = SI.$c) tìm giao tuyến đường của $2$ phương diện phẳng $left( ADM ight)$ và $left( SBC ight).$Ta có:$left{ eginarraylM in left( ADM ight)\M in SC,SC subset left( SBC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow M in left( ADM ight) cap left( SBC ight)$ $left( 5 ight).$$left{ eginarraylI in AD,AD subset left( ADM ight)\I in BC,BC subset left( SBC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow I in left( ADM ight) cap left( SBC ight)$ $(6).$Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra: $left( ADM ight) cap left( SBC ight) = MI.$

Ví dụ 5: đến hình chóp $S.ABCD$ lòng là hình bình hành trung tâm $O$. Call $M, N, P$ thứu tự là trung điểm những cạnh $BC, CD, SA$. Search giao đường của nhì mặt phẳng:a) phương diện phẳng $(MNP)$ cùng mặt phẳng $(SAB).$b) khía cạnh phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SAD).$c) khía cạnh phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SBC).$d) khía cạnh phẳng $(MNP)$ với mặt phẳng $(SCD).$

*

Gọi $F = MN cap AB$, $E = MN cap AD$ (vì $MN,AB,AD subset left( ABCD ight)$).a) mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SAB).$Ta có:$left{ eginarraylP in left( MNP ight)\P in SA,SA subset left( SAB ight)endarray ight.$ $ Rightarrow p in left( MNP ight) cap left( SAB ight)$ $left( 1 ight).$$left{ eginarraylF in MN,MN subset left( MNP ight)\F in AB,AB subset left( SAB ight)endarray ight.$ $ Rightarrow F in left( MNP ight) cap left( SAB ight)$ $left( 2 ight).$Từ $(1)$ cùng $(2)$ suy ra: $left( MNP ight) cap left( SAB ight) = PF.$b) khía cạnh phẳng $(MNP)$ với mặt phẳng $(SAD).$Ta có:$left{ eginarraylP in left( MNP ight)\P in SA,SA subset left( SAD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow p in left( MNP ight) cap left( SAD ight)$ $left( 3 ight).$$left{ eginarraylE in MN,MN subset left( MNP ight)\E in AD,AD subset left( SAD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow E in left( MNP ight) cap left( SAD ight)$ $left( 4 ight).$Từ $(3)$ cùng $(4)$ suy ra $left( MNP ight) cap left( SAD ight) = PE.$c) khía cạnh phẳng $(MNP)$ cùng mặt phẳng $(SBC).$Trong khía cạnh phẳng $(SAB)$ gọi $K = PF cap SB$, ta có:$left{ eginarraylK in PF,PF subset left( MNP ight)\K in SB,SB subset left( SBC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow K in left( MNP ight) cap left( SBC ight)$ $left( 5 ight).$$left{ eginarraylM in left( MNP ight)\M in BC,BC subset left( SBC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow M in left( MNP ight) cap left( SBC ight)$ $left( 6 ight).$Từ $(5)$ với $(6)$ suy ra $left( MNP ight) cap left( SBC ight) = MK.$d) mặt phẳng $(MNP)$ với mặt phẳng $(SCD).$Gọi $H = PE cap SD$ $left( PE,SD subset left( SAD ight) ight)$, ta có:$left{ eginarraylH in PE,PE subset left( MNP ight)\H in SD,SD subset left( SCD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow H in left( MNP ight) cap left( SCD ight)$ $left( 7 ight).$$left{ eginarraylN in left( MNP ight)\N in CD,CD subset left( SCD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow N in left( MNP ight) cap left( SCD ight)$ $left( 8 ight).$Từ $(7)$ cùng $(8)$ suy ra: $left( MNP ight) cap left( SCD ight) = NH.$

Ví dụ 6: đến tứ diện $S.ABC$. đem $M in SB$, $N in AC$, $I in SC$ làm thế nào cho $MI$ không song song cùng với $BC, NI$ không tuy vậy song với $SA.$ search giao tuyến đường của phương diện phẳng $(MNI)$ với những mặt $(ABC)$ cùng $(SAB).$

*

a) tìm giao tuyến đường của $2$ khía cạnh phẳng $(MNI)$ cùng $(ABC).$Vì $left{ eginarraylN in left( MNI ight)\N in AC,AC subset left( ABC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow N in left( MNI ight) cap left( ABC ight)$ $(1).$Trong khía cạnh phẳng $(SBC)$ gọi $K = ngươi cap BC.$Vì: $left{ eginarraylK in mi subset left( MNI ight)\K in BC,BC subset left( ABC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow K in left( MNI ight) cap left( ABC ight)$ $left( 2 ight).$Từ $(1)$ cùng $(2)$ suy ra: $left( MNI ight) cap left( ABC ight) = NK.$b) kiếm tìm giao tuyến của $2$ khía cạnh phẳng $(MNI)$ với $(SAB).$Gọi $J = NI cap SA$ $left( NI,SA subset left( SAC ight) ight).$Ta có:$left{ eginarraylM in left( MNI ight)\M in SB,SB subset left( SAB ight)endarray ight.$ $ Rightarrow M in left( MNI ight) cap left( SAB ight)$ $left( 3 ight).$$left{ eginarraylJ in NI subset left( MNI ight)\J in SA,SA subset left( SAB ight)endarray ight.$ $ Rightarrow J in left( MNI ight) cap left( SAB ight)$ $left( 4 ight).$Từ $(3)$ cùng $(4)$ suy ra: $left( MNI ight) cap left( SAB ight) = MJ.$

Ví dụ 7: cho tứ diện $ABCD$, $M$ là 1 điểm nằm phía bên trong tam giác $ABD$, $N$ là 1 điểm phía bên trong tam giác $ACD$. Tìm kiếm giao con đường của nhì mặt phẳng:a) mặt phẳng $(AMN)$ và mặt phẳng $(BCD).$b) phương diện phẳng $(DMN)$ cùng mặt phẳng $(ABC).$

*

a) search giao tuyến của nhì mặt phẳng $(AMN)$ cùng $(BCD).$Trong phương diện phẳng $(ABD)$, call $E = AM cap BD$, ta có:$left{ eginarraylE in AM,AM subset left( AMN ight)\E in BD,BD subset left( BCD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow E in left( AMN ight) cap left( BCD ight)$ $(1).$Trong $(ACD)$ điện thoại tư vấn $F = AN cap CD$, ta có:$left{ eginarraylF in AN,AN subset left( AMN ight)\F in CD,CD subset left( BCD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow F in left( AMN ight) cap left( BCD ight)$ $(2).$Từ $(1)$ cùng $(2)$ suy ra: $left( AMN ight) cap left( BCD ight) = EF.$b) search giao đường của nhị mặt phẳng $(DMN)$ và $(ABC).$Trong khía cạnh phẳng $(ABD)$, call $P = DM cap AB$, ta có:$left{ eginarraylP in DM,DM subset left( DMN ight)\P in AB,AB subset left( ABC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow p in left( DMN ight) cap left( ABC ight)$ $(3).$Trong $(ACD)$, gọi $Q = dn cap AC$, ta có:$left{ eginarraylQ in DN,DN subset left( DMN ight)\Q in AC,AC subset left( ABC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow Q in left( DMN ight) cap left( ABC ight)$ $left( 4 ight).$Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $left( DMN ight) cap left( ABC ight) = PQ.$

Ví dụ 8: mang lại tứ diện $ABCD$. Lấy $I in AB$, $J$ là vấn đề trong tam giác $BCD$, $K$ là vấn đề trong tam giác $ACD$. Tra cứu giao đường của mặt phẳng $(IJK)$ với các mặt của tứ diện.

*

Gọi:$M = DK cap AC$ $left( DK,AC subset left( ACD ight) ight).$$N = DJ cap BC$ $left( DJ,BC subset left( BCD ight) ight).$$H = MN cap KJ$ $left( MN,KJ subset left( DMN ight) ight).$Vì $H in MN$, $MN subset left( ABC ight)$ $ Rightarrow H in left( ABC ight).$Gọi:$P = HI cap BC$ $left( HI,BC subset left( ABC ight) ight).$$Q = PJ cap CD$ $left( PJ,CD subset left( BCD ight) ight).$$T = QK cap AD$ $left( QK,AD subset left( ACD ight) ight).$Theo cách dựng điểm sinh hoạt trên, ta có:$left( IJK ight) cap left( ABC ight) = IP.$$left( IJK ight) cap left( BCD ight) = PQ.$$left( IJK ight) cap left( ACD ight) = QT.$$left( IJK ight) cap left( ABD ight) = TI.$