Bài tập hàm số lượng giác

     

Các vấn đề về hàm con số giác 11 thường có trong nội dung đề thi vào cuối kỳ và vào đề thi trung học phổ thông quốc gia, đây cũng là câu chữ kiến thức quan trọng mà các em buộc phải nắm vững.

Bạn đang xem: Bài tập hàm số lượng giác


Bài viết này sẽ khối hệ thống lại các dạng toán về hàm con số giác, mỗi dạng toán sẽ có ví dụ và khuyên bảo giải cụ thể để các em thuận lợi vận dụng khi gặp gỡ các dạng bài tập hàm số lượng giác tương tự.


I. Kim chỉ nan về Hàm con số giác

1. Hàm số sin: y = sinx

+ Tập xác định:  và

*

+ y = sinx là hàm số lẻ

+ y = sinx là hàm số tuần trả với chu kỳ 2π.

- Hàm số y = sinx nhận những giá trị quánh biệt:

 ° sinx = 0 khi 

 ° sinx = 1 khi 

*

 ° sinx = -1 khi 

*

+ Đồng thị hàm số y = sinx có dạng:

*

2. Hàm số cosin: y = cosx

+ Tập xác định:  và

*

+ y = cosx là hàm số chẵn

+ y = cosx là hàm số tuần trả với chu kỳ 2π.

- Hàm số y = cosx nhận các giá trị quánh biệt:

 ° cosx = 0 lúc

 ° cosx = 1 lúc

*

 ° cosx = -1 lúc

*

+ Đồng thị hàm số y = cosx có dạng:

*

3. Hàm số tan

+ Hàm số tan: 

*

+ Tập xác định: 

*

+ y = tanx là hàm số lẻ

+ y = tanx là hàm số tuần trả với chu kỳ π.

- Hàm số y = tanx nhận các giá trị sệt biệt:

 ° tanx = 0 khi 

 ° tanx = 1 khi

 ° sinx = -1 lúc

+ Đồng thị hàm số y = tanx có dạng:

*

4. Hàm số cot

+ Hàm số cot:

*

+ Tập xác định: 

*

+ y = cotx là hàm số lẻ

+ y = cotx là hàm số tuần trả với chu kỳ luân hồi π.

- Hàm số y = cotx nhận các giá trị sệt biệt:

 ° cotx = 0 khi

 ° cotx = 1 khi 

 ° sinx = -1 khi 

+ Đồng thị hàm số y = cotx tất cả dạng:

*

II. Các dạng toán về hàm con số giác

° Dạng 1: tìm kiếm tập khẳng định của hàm số

* Phương pháp:

- Tìm đk của biến đổi số x để hàm số khẳng định và chú ý đến tập khẳng định của các hàm con số giác.

 Ví dụ 1 (Bài 2 trang 17 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Tìm tập khẳng định của hàm số:

a) b)

c) d)

° Lời giải bài bác 2 (trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11):

a) Hàm số  xác định:

⇔ sinx ≠ 0

⇔ x ≠ kπ, (k ∈ Z).

- Kết luận: Tập khẳng định của hàm số là D = Rkπ, k ∈ Z.

b) Hàm số  xác định:

*
 (1)

- vị -1 ≤ cosx ≤ 1, ∀x ∈ R, nên

*
 
*
 
*

- vì đó, (1) ⇔ (1 - cosx)≠0 ⇔ cosx≠1 ⇔ x≠k2π.

- Kết luận: Vậy tập xác minh của hàm số là D = Rk2π, k ∈ Z.

c) Hàm số  xác định:

 

*

 

*

 

*

- Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là:

*
 

d) Hàm số  xác định:

 

*

 

*

- Kết luận: Vậy tập xác minh của hàm số là:

 

*
 

° Dạng 2: xác minh hàm số lượng giác là hàm chẵn, hàm lẻ

* Phương pháp:

♦ Để khẳng định hàm số y=f(x) là hàm chẵn xuất xắc lẻ, ta làm cho như sau:

 Bước 1: Tìm tập khẳng định D của hàm y=f(x)

 Bước 2: cùng với x bất kỳ: x ∈ D, ta chứng minh -x ∈ D

 Bước 3: Tính f(-x):

◊ Nếu f(-x) = f(x), ∀x ∈ D thì hàm số y =f(x) là hàm số chẵn;

◊ nếu như f(-x) = -f(x), ∀x ∈ D thì hàm số y =f(x) là hàm số lẻ;

◊ giả dụ có x ∈ D:

f(-x) ≠ f(x) thì hàm số y =f(x) KHÔNG là hàm số chẵn;

f(-x) ≠ -f(x) thì hàm số y =f(x) KHÔNG là hàm số lẻ;

 Ví dụ 1: khảo sát tính chẵn lẻ của hàm số sau:

 a) y = tanx + 3sinx

 b) y = 2cosx + sin2x

 c) y = 5sin2x.cos3x

 d) y = 2sinx + 3cosx

* Lời giải:

 a) y = tanx + 3sinx

+ Tập xác định: 

*

+ cùng với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = tan(-x) + 3sin(-x) = -tanx - 3sinx = -(tanx + 3sinx) = -f(x), ∀x ∈ D.

⇒ y = tanx + 3sinx là hàm số lẻ.

 b) y = 2cosx + sin2x

+ Tập xác định: 

+ với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có thể có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = 2cos(-x) + sin2(-x) = 2cos(x) + 2 = 2cosx + (-sinx)2 = 2cosx + sin2x = f(x),∀x ∈ D.

⇒ y = 2cosx + sin2x là hàm số chẵn.

Xem thêm: Tác Phẩm Romeo Và Juliet : Tiểu Thuyết Tình Yêu Bất Hủ Của Shakespeare

 c) y = 5sin2x.cos3x

+ Tập xác định: 

+ cùng với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = 5sin(-2x)cos(-3x) = -5sin2x.cos3x = -f(x),∀x ∈ D.

⇒ y = 5sin2x.cos3x là hàm số lẻ.

 d) y = 2sinx + 3cosx

+ Tập xác định: 

+ cùng với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng đều có -x ∈ D

+ Ta xét với 

*

*
*

⇒ y = 2sinx + 3cosx KHÔNG là hàm số chẵn cũng KHÔNG là hàm số lẻ.

* giữ ý: Để minh chứng hàm số y=f(x) không chẵn (hoặc ko lẻ) thì ta cần chỉ ra gồm tồn tại x ∈ D sao cho: f(-x) ≠ f(x) (hoặc f(-x) ≠ -f(x)).

° Dạng 3: Hàm số tuần hoàn, khẳng định chu kỳ tuần hoàn

* Phương pháp:

♦ Để chứng tỏ y=f(x) (có tập xác minh D) tuần hoàn, cần chứng tỏ có T ∈ R sao cho:

 1) x + T ∈ D; x - T ∈ D, ∀x ∈ D.

 2) f(x+T) = f(x),∀x ∈ D.

♦ mang sử hàm số y=f(x) tuần hoàn, nhằm tìm chu kỳ luân hồi tuần hoàn ta buộc phải tìm số dương T nhỏ dại nhất vừa lòng 2 tính chất 1) cùng 2) sinh sống trên.

 Ví dụ 1: Chứng minh hàm số y = sin2x tuần trả với chu kỳ π.

* Lời giải: 

- Hàm số y = f(x) = sin2x

+ TXĐ: D=R; x + π ∈ D, x - π ∈ D, ∀x ∈ D.

+ Ta có: f(x + π) = sin2(x + π) = sin(2x + 2π) = sin2x = f(x).

⇒ Hàm số y = sin2x là hàm số tuần hoàn.

+ mang sử gồm a, với 0 • Ví dụ 2: Chứng minh hàm số  là hàm số tuần hoàn với tìm chu kỳ luân hồi tuần trả của nó.

* Lời giải: 

- Hàm số:

+ TXĐ:

*
 
*

⇒ 

*
*

+ Ta có: 

*

+ Ta có: 

*
 
*
 
*
 

⇒ Hàm số  là hàm số tuần hoàn.

Xem thêm: Top 60 Lời Chúc Sinh Nhật Người Yêu Hài Hước, Lầy Lội Khiến Ai Cũng Bật Cười

+ trả sử tất cả a:

*

+ Hàm 

*

 Ví dụ 2: Xác định các khoảng đồng biến và khoảng chừng nghịch thay đổi của hàm số y = |sinx| trên đoạn <0;2π>.

* Lời giải: 

+ Từ đồ gia dụng thị hàm số y = |sinx| nghỉ ngơi trên, ta xét vào đoạn<0;2π> , ta có:

 - Hàm số đồng biến đổi khi 

*

 - Hàm số nghịch đổi mới khi 

*

° Dạng 5: Tìm giá chỉ trị lớn số 1 (GTLN), giá trị nhỏ dại nhất (GTNN) của hàm số lượng giác

* Phương pháp:

- Vận dụng tính chất: -1 ≤ sinx ≤ 1; -1 ≤ cosx ≤ 1

 Ví dụ: Tìm giá chỉ trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của những hàm số sau: