Bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có lời giải

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (α).

Bạn đang xem: Bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có lời giải

Khi đó ta còn nói (α) vuông góc với d và kí hiệu d

(α) hoặc (α) d.

II. ĐIỂU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (α) thì d vuông góc với (α).

III. TÍNH CHẤT

1. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

2. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

IV. SỰ LIÊN QUAN GIỮA QUAN HỆ VUÔNG GÓC VÀ QUAN HỆ SONG SONG

1. a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

2. a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

3. a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với

b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

V. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC

1. Định nghĩa. Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α). Phép chiếu song song theo phương d lên mặt phẳng (α) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (α).

2. Định lí ba đường vuông góc. Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) và b là đường thẳng không thuộc (α) đồng thời không vuông góc với (α). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (α). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α). Ta có định nghĩa :

Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng 90°.Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên (à) được gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α).

Lưu ý rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 90°.

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Vấn đề 1

Chứng minh đưòng thẳng vuông góc với mặt phẳng

1. Phương pháp giải

Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) người ta thường dùng một trong hai cách sau đây :

Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α).Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với (α).

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I vầK lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD.

a) Chứng minh BC

(SAB), CD (SAD) và BD (SAC).

b) Chứng minh SC 

(ẠHK) và điểm I thuộc (AHK).

c) Chứng minh HK

(SAC), từ đó suy ra HK AI.

Giải

a) BC 

AB vì đáy ABCD là hình vuông (h.3.24)

BC 

SA vì SA (ABCD) và BC thuộc (ABCD).

Do đó BC

(SAB) vì BC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (SAB).

Lập luận tương tự ta có CD

AD và CD SA nên CD (SAD).

Ta có BD

AC vì đáy ABCD là hình vuông và BD SA nên BD (SAC). 

b) BC

(SAB) mà AH ⊂ (,SAB) nên BC AH và theo giả thiết SB AH ta suy ra AH (SBC).

Vì SC ⊂ (SBC) nên AH 

SC.

Lập luận tương tự ta chứng minh được AK

SC. Hai đường thẳng AH, AK cắt nhau và cùng vuông góc với SC nên chúng nằm trong mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với SC. Vậy SC (AHK). Ta có AI ⊂ (.AHK) vì nó đi qua điểm A và cùng vuông góc với SC.

Hai tam giác vuông SAB và SAD bằng nhau vì chúng có cạnh SA chung và AB AD (c.g.c). Do đó SB = SD, SH = SK nên HK // BD.

Vì BD

(SAC) nên HK (SAC) và do AI c= (SAC) nên HK AI.

Ví dụ 2. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SC, SB = SD.

a) Chứng minh so vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC.

Chứng minh rằng IK

(SBD) và IK SD.

Giải

a) O là tâm hình thoi ABCD nên O là trung điểm của đoạn AC (h.3.25). Tam giác SAC có SA = SC nên so

ÁC. Chứng minh tương tự ta có SO BD. Từ đó ta suy ra SO (ABCD).

Xem thêm: Tất Tần Tật Về Ngữ Pháp Câu Khẳng Định Tiếng Anh Là Gì, Câu Khẳng Định Là Gì

b) Vì đáy ABCD là hình thoi nên AC

BD

Mặt khác ta có AC

SO. Do đó AC (SBD). Ta có IK là đường trung bình của tam giác BAC nên IK // AC mà AC (SBD) nên IK (SBD).

Ta lại có SD nằm trong mặt phẳng (SBD) nên IK

SD.

Vấn đề 2

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau bằng cách chứng minh đường thẳng nàỵ vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia

1. Phương pháp giảiMuốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b, ta tìm mặt phẳng (β) chứa đường thẳng b sao cho việc chứng minh a (β) dễ thực hiện.Sử dụng định lí ba đường vuông góc.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.

Giải

Giả sử ta cần chứng minh AB

CD.

Gọi I là trung điểm của cạnh AB (h3.26). Ta có :

Do đó AB

CD vì CD nằm trong mặt phẳng (CID).

Bằng lập luận tương tự ta chứng minh được BC

AD và AC BD.

Ví dụ 2. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại H. Chứng minh :

a) OA 

BC, OB  CA và OC  AB

b) H là trực tâm của tam giác ABC;

Giải

⇒ OA 

(OBC) ⇒ OA  BC (h.3.27).

Tương tự ta chứng minh

OB

(OCA) ⇒ OB CA

OC

(OAB) ⇒ OC AB.b) Vì OH  (ABC) nên OH BC và OA BC

⇒ BC

(OAH) ⇒ BC AH. (1)

Chứng minh tương tự ta có AC

(OBH) ⇒ AC BH. (2)Từ (1) và (2) ta suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.

Gọi K là giao điểm của AH và Trong tam giác AOK vuông tại O, ta có OH là đường cao. Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông của hình học phẳng ta có :

Vì BC vuông góc vói mặt phẳng (OAH) nên BC _L OK. Do đố trong tam giác OBC vuông tại o với đường cao OK ta có :

Ví dụ 3. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh các mặt bên của hình chóp đã cho là những tam giác vuông.

Giải

SA

AB và SA AD (h.3.28).

Vậy các tam giác SAB và SAD là các tam giác vuông tại A.

Vậy tam giác SDC vuông tại D và tam giác SBC vuông tại B.

Chú thích. Muốn chứng minh tam giác SDC vuông tại D ta có thể áp dụng định lí ba đường vuông góc và lập luận như sau

Đường thẳng SD có hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng (ABCD) là AD. Theo định lí ba đường vuông góc vì CD

AD nên CD SD và ta có tam giác SDC vuông tại D.

Tương tự, ta chứng minh được CB

SB và ta có tam giác SBC vuông tại B.

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

3.16. Một đoạn thẳng AB không vuông góc với mặt phẳng (α) cắt mặt phẳng này tại trung điểm O của đoạn thẳng đó. Các đường thẳng vuông góc với (α) qua A và B lần lượt cắt mặt phẳng (α) tại A’ và B’.

Chứng minh ba điểm A’, O, B’ thẳng hàng và AA’ = BB’.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.17. Cho tam giác Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và (β) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CB tại B. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau và giao tuyến d của chúng vuông góc với mặt phẳng (ABC).

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.18. Cho hình lăng trụ tam giác A’B’C’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng A’H vuông góc với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng :

a )AA’

BC và lAA’ B’C’.

b) Gọi MM’ là giao tuyến của mặt phẳng (ẠHA’) với mặt bên BCC’B’ trong đó M ∈ BC và M’ ∈ B’C’. Chứng minh rằng tứ giác BCC’B’ là hình chữ nhật và MM’ là đường cao của hình chữ nhật đó.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.19. Hình chóp tam giác ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có canh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy là (ABC). Gọi D là điểm đối xứng của điểm B qua trung điểm o của cạnh AC. Chứng minh rằng CD

CA và CD (SCA).

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.20. Hai tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau có chung cạnh đáy BC tạo nên tứ diện Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh BC

AD

b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI

Chứng minh rằng AH vuông góc vói mặt phẳng (BCD).

⇒ Xem đáp án tại đây.

Xem thêm: Kết Quả Bồ Đào Nha Vs Qatar, Giao Hữu Bóng Đá 2021, Ronaldo 'Nổ Súng', Bồ Đào Nha Vùi Dập Qatar

3.21. Chứng minh rằng tập hợp những điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm O của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC đó.